{l}{2x+y-7=0}{17x-11y-8=0} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y - 7 = 0 } \\ { 17 x - 11 y - 8 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = \frac{85}{39} = 2\frac{7}{39} \approx 2.179487179$$

$$y = \frac{103}{39} = 2\frac{25}{39} \approx 2.641025641$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2x+y-7=0,17x-11y-8=0$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$2x+y-7=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 7 ઍડ કરો.

$$2x+y=7$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી y નો ઘટાડો કરો.

$$2x=-y+7$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+7\right)$$

-y+7 ને \frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}$$

અન્ય સમીકરણ, 17x-11y-8=0 માં x માટે \frac{-y+7}{2} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$17\left(-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}\right)-11y-8=0$$

\frac{-y+7}{2} ને 17 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{17}{2}y+\frac{119}{2}-11y-8=0$$

-11y માં -\frac{17y}{2} ઍડ કરો.

$$-\frac{39}{2}y+\frac{119}{2}-8=0$$

-8 માં \frac{119}{2} ઍડ કરો.

$$-\frac{39}{2}y+\frac{103}{2}=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{103}{2} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{39}{2}y=-\frac{103}{2}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{39}{2} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=\frac{103}{39}$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}માં y માટે \frac{103}{39} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{103}{39}+\frac{7}{2}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{1}{2} નો \frac{103}{39} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{103}{78}+\frac{7}{2}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{103}{78} માં \frac{7}{2} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{85}{39}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{85}{39},y=\frac{103}{39}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$2x+y-7=0,17x-11y-8=0$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{2\left(-11\right)-17}&-\frac{1}{2\left(-11\right)-17}\\-\frac{17}{2\left(-11\right)-17}&\frac{2}{2\left(-11\right)-17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{39}&\frac{1}{39}\\\frac{17}{39}&-\frac{2}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{39}\times 7+\frac{1}{39}\times 8\\\frac{17}{39}\times 7-\frac{2}{39}\times 8\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{85}{39}\\\frac{103}{39}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{85}{39},y=\frac{103}{39}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$2x+y-7=0,17x-11y-8=0$$

2x અને 17x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 17 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$17\times 2x+17y+17\left(-7\right)=0,2\times 17x+2\left(-11\right)y+2\left(-8\right)=0$$

સરળ બનાવો.

$$34x+17y-119=0,34x-22y-16=0$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 34x+17y-119=0માંથી 34x-22y-16=0 ને ઘટાડો.

$$34x-34x+17y+22y-119+16=0$$

-34x માં 34x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 34x અને -34x ને વિભાજિત કરો.

$$17y+22y-119+16=0$$

22y માં 17y ઍડ કરો.

$$39y-119+16=0$$

16 માં -119 ઍડ કરો.

$$39y-103=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 103 ઍડ કરો.

$$39y=103$$

બન્ને બાજુનો 39 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{103}{39}$$

17x-11y-8=0માં y માટે \frac{103}{39} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$17x-11\times \frac{103}{39}-8=0$$

\frac{103}{39} ને -11 વાર ગુણાકાર કરો.

$$17x-\frac{1133}{39}-8=0$$

-8 માં -\frac{1133}{39} ઍડ કરો.

$$17x-\frac{1445}{39}=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{1445}{39} ઍડ કરો.

$$17x=\frac{1445}{39}$$

બન્ને બાજુનો 17 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{85}{39}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{85}{39},y=\frac{103}{39}$$