{l}{2x+y=9}{2x+3y=2} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 9 } \\ { 2 x + 3 y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = \frac{25}{4} = 6\frac{1}{4} = 6.25$$

$$y = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2x+y=9,2x+3y=2$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$2x+y=9$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી y નો ઘટાડો કરો.

$$2x=-y+9$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+9\right)$$

-y+9 ને \frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}$$

અન્ય સમીકરણ, 2x+3y=2 માં x માટે \frac{-y+9}{2} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2\left(-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}\right)+3y=2$$

\frac{-y+9}{2} ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-y+9+3y=2$$

3y માં -y ઍડ કરો.

$$2y+9=2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 9 નો ઘટાડો કરો.

$$2y=-7$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{7}{2}$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}માં y માટે -\frac{7}{2} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{7}{2}\right)+\frac{9}{2}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{1}{2} નો -\frac{7}{2} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{7}{4}+\frac{9}{2}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{7}{4} માં \frac{9}{2} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{25}{4}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{25}{4},y=-\frac{7}{2}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$2x+y=9,2x+3y=2$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-2}&-\frac{1}{2\times 3-2}\\-\frac{2}{2\times 3-2}&\frac{2}{2\times 3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 9-\frac{1}{4}\times 2\\-\frac{1}{2}\times 9+\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{4}\\-\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{25}{4},y=-\frac{7}{2}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$2x+y=9,2x+3y=2$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 2x+y=9માંથી 2x+3y=2 ને ઘટાડો.

$$2x-2x+y-3y=9-2$$

-2x માં 2x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 2x અને -2x ને વિભાજિત કરો.

$$y-3y=9-2$$

-3y માં y ઍડ કરો.

$$-2y=9-2$$

-2 માં 9 ઍડ કરો.

$$-2y=7$$

બન્ને બાજુનો -2 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{7}{2}$$

2x+3y=2માં y માટે -\frac{7}{2} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$2x+3\left(-\frac{7}{2}\right)=2$$

-\frac{7}{2} ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$2x-\frac{21}{2}=2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{21}{2} ઍડ કરો.

$$2x=\frac{25}{2}$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{25}{4}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{25}{4},y=-\frac{7}{2}$$