{l}{2x+y=45}{3x+5y=70} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 45 } \\ { 3 x + 5 y = 70 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = \frac{155}{7} = 22\frac{1}{7} \approx 22.142857143$$

$$y=\frac{5}{7}\approx 0.714285714$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2x+y=45,3x+5y=70$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$2x+y=45$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી y નો ઘટાડો કરો.

$$2x=-y+45$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+45\right)$$

-y+45 ને \frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}$$

અન્ય સમીકરણ, 3x+5y=70 માં x માટે \frac{-y+45}{2} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3\left(-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}\right)+5y=70$$

\frac{-y+45}{2} ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{135}{2}+5y=70$$

5y માં -\frac{3y}{2} ઍડ કરો.

$$\frac{7}{2}y+\frac{135}{2}=70$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{135}{2} નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{7}{2}y=\frac{5}{2}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{7}{2} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=\frac{5}{7}$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}માં y માટે \frac{5}{7} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{5}{7}+\frac{45}{2}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{1}{2} નો \frac{5}{7} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{5}{14}+\frac{45}{2}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{5}{14} માં \frac{45}{2} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{155}{7}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{155}{7},y=\frac{5}{7}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$2x+y=45,3x+5y=70$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3}&-\frac{1}{2\times 5-3}\\-\frac{3}{2\times 5-3}&\frac{2}{2\times 5-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}\times 45-\frac{1}{7}\times 70\\-\frac{3}{7}\times 45+\frac{2}{7}\times 70\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{155}{7}\\\frac{5}{7}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{155}{7},y=\frac{5}{7}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$2x+y=45,3x+5y=70$$

2x અને 3x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$3\times 2x+3y=3\times 45,2\times 3x+2\times 5y=2\times 70$$

સરળ બનાવો.

$$6x+3y=135,6x+10y=140$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 6x+3y=135માંથી 6x+10y=140 ને ઘટાડો.

$$6x-6x+3y-10y=135-140$$

-6x માં 6x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 6x અને -6x ને વિભાજિત કરો.

$$3y-10y=135-140$$

-10y માં 3y ઍડ કરો.

$$-7y=135-140$$

-140 માં 135 ઍડ કરો.

$$-7y=-5$$

બન્ને બાજુનો -7 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{5}{7}$$

3x+5y=70માં y માટે \frac{5}{7} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$3x+5\times \frac{5}{7}=70$$

\frac{5}{7} ને 5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$3x+\frac{25}{7}=70$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{25}{7} નો ઘટાડો કરો.

$$3x=\frac{465}{7}$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{155}{7}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{155}{7},y=\frac{5}{7}$$