{l}{2x+y=4}{2x-y=2} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 4 } \\ { 2 x - y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=1$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2x+y=4,2x-y=2$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$2x+y=4$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી y નો ઘટાડો કરો.

$$2x=-y+4$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+4\right)$$

-y+4 ને \frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{1}{2}y+2$$

અન્ય સમીકરણ, 2x-y=2 માં x માટે -\frac{y}{2}+2 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2\left(-\frac{1}{2}y+2\right)-y=2$$

-\frac{y}{2}+2 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-y+4-y=2$$

-y માં -y ઍડ કરો.

$$-2y+4=2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 4 નો ઘટાડો કરો.

$$-2y=-2$$

બન્ને બાજુનો -2 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=1$$

x=-\frac{1}{2}y+2માં y માટે 1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{1}{2}+2$$

-\frac{1}{2} માં 2 ઍડ કરો.

$$x=\frac{3}{2}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$2x+y=4,2x-y=2$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&1\\2&-1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-2}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-2}\\-\frac{2}{2\left(-1\right)-2}&\frac{2}{2\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 4+\frac{1}{4}\times 2\\\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$2x+y=4,2x-y=2$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 2x+y=4માંથી 2x-y=2 ને ઘટાડો.

$$2x-2x+y+y=4-2$$

-2x માં 2x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 2x અને -2x ને વિભાજિત કરો.

$$y+y=4-2$$

y માં y ઍડ કરો.

$$2y=4-2$$

-2 માં 4 ઍડ કરો.

$$2y=2$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=1$$

2x-y=2માં y માટે 1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$2x-1=2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 1 ઍડ કરો.

$$2x=3$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{3}{2}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$