{l}{2x+y=-4}{-5x-y=13} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = - 4 } \\ { - 5 x - y = 13 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-3$$

$$y=2$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2x+y=-4,-5x-y=13$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$2x+y=-4$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી y નો ઘટાડો કરો.

$$2x=-y-4$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-4\right)$$

-y-4 ને \frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{1}{2}y-2$$

અન્ય સમીકરણ, -5x-y=13 માં x માટે -\frac{y}{2}-2 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-5\left(-\frac{1}{2}y-2\right)-y=13$$

-\frac{y}{2}-2 ને -5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{5}{2}y+10-y=13$$

-y માં \frac{5y}{2} ઍડ કરો.

$$\frac{3}{2}y+10=13$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 10 નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{3}{2}y=3$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{3}{2} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=2$$

x=-\frac{1}{2}y-2માં y માટે 2 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{1}{2}\times 2-2$$

2 ને -\frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-1-2$$

-1 માં -2 ઍડ કરો.

$$x=-3$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-3,y=2$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$2x+y=-4,-5x-y=13$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&1\\-5&-1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\13\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\13\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-5\right)}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{2\left(-1\right)-\left(-5\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\13\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{5}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\13\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-4\right)-\frac{1}{3}\times 13\\\frac{5}{3}\left(-4\right)+\frac{2}{3}\times 13\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-3,y=2$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$2x+y=-4,-5x-y=13$$

2x અને -5x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -5 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-5\times 2x-5y=-5\left(-4\right),2\left(-5\right)x+2\left(-1\right)y=2\times 13$$

સરળ બનાવો.

$$-10x-5y=20,-10x-2y=26$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -10x-5y=20માંથી -10x-2y=26 ને ઘટાડો.

$$-10x+10x-5y+2y=20-26$$

10x માં -10x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -10x અને 10x ને વિભાજિત કરો.

$$-5y+2y=20-26$$

2y માં -5y ઍડ કરો.

$$-3y=20-26$$

-26 માં 20 ઍડ કરો.

$$-3y=-6$$

બન્ને બાજુનો -3 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=2$$

-5x-y=13માં y માટે 2 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-5x-2=13$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 2 ઍડ કરો.

$$-5x=15$$

બન્ને બાજુનો -5 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-3$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-3,y=2$$