{l}{2x+y=-16}{-4x+10y=8} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = - 16 } \\ { - 4 x + 10 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-7$$

$$y=-2$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2x+y=-16,-4x+10y=8$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$2x+y=-16$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી y નો ઘટાડો કરો.

$$2x=-y-16$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-16\right)$$

-y-16 ને \frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{1}{2}y-8$$

અન્ય સમીકરણ, -4x+10y=8 માં x માટે -\frac{y}{2}-8 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-4\left(-\frac{1}{2}y-8\right)+10y=8$$

-\frac{y}{2}-8 ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$2y+32+10y=8$$

10y માં 2y ઍડ કરો.

$$12y+32=8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 32 નો ઘટાડો કરો.

$$12y=-24$$

બન્ને બાજુનો 12 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-2$$

x=-\frac{1}{2}y-8માં y માટે -2 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-2\right)-8$$

-2 ને -\frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=1-8$$

1 માં -8 ઍડ કરો.

$$x=-7$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-7,y=-2$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$2x+y=-16,-4x+10y=8$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{2\times 10-\left(-4\right)}&-\frac{1}{2\times 10-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{2\times 10-\left(-4\right)}&\frac{2}{2\times 10-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{1}{24}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}\left(-16\right)-\frac{1}{24}\times 8\\\frac{1}{6}\left(-16\right)+\frac{1}{12}\times 8\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-7,y=-2$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$2x+y=-16,-4x+10y=8$$

2x અને -4x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -4 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-4\times 2x-4y=-4\left(-16\right),2\left(-4\right)x+2\times 10y=2\times 8$$

સરળ બનાવો.

$$-8x-4y=64,-8x+20y=16$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -8x-4y=64માંથી -8x+20y=16 ને ઘટાડો.

$$-8x+8x-4y-20y=64-16$$

8x માં -8x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -8x અને 8x ને વિભાજિત કરો.

$$-4y-20y=64-16$$

-20y માં -4y ઍડ કરો.

$$-24y=64-16$$

-16 માં 64 ઍડ કરો.

$$-24y=48$$

બન્ને બાજુનો -24 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-2$$

-4x+10y=8માં y માટે -2 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-4x+10\left(-2\right)=8$$

-2 ને 10 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-4x-20=8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 20 ઍડ કરો.

$$-4x=28$$

બન્ને બાજુનો -4 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-7$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-7,y=-2$$