{l}{2x+y=-1}{-x-y=-5} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = - 1 } \\ { - x - y = - 5 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-6$$

$$y=11$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2x+y=-1,-x-y=-5$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$2x+y=-1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી y નો ઘટાડો કરો.

$$2x=-y-1$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-1\right)$$

-y-1 ને \frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}$$

અન્ય સમીકરણ, -x-y=-5 માં x માટે \frac{-y-1}{2} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-\left(-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)-y=-5$$

\frac{-y-1}{2} ને -1 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}-y=-5$$

-y માં \frac{y}{2} ઍડ કરો.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}=-5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{1}{2} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{11}{2}$$

બન્ને બાજુનો -2 દ્વારા ગુણાકાર કરો.

$$y=11$$

x=-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}માં y માટે 11 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{1}{2}\times 11-\frac{1}{2}$$

11 ને -\frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-11-1}{2}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{11}{2} માં -\frac{1}{2} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-6$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-6,y=11$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$2x+y=-1,-x-y=-5$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&1\\-1&-1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-1\right)}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2\left(-1\right)-\left(-1\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1-5\\-\left(-1\right)-2\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-6,y=11$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$2x+y=-1,-x-y=-5$$

2x અને -x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -1 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-2x-y=-\left(-1\right),2\left(-1\right)x+2\left(-1\right)y=2\left(-5\right)$$

સરળ બનાવો.

$$-2x-y=1,-2x-2y=-10$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -2x-y=1માંથી -2x-2y=-10 ને ઘટાડો.

$$-2x+2x-y+2y=1+10$$

2x માં -2x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -2x અને 2x ને વિભાજિત કરો.

$$-y+2y=1+10$$

2y માં -y ઍડ કરો.

$$y=1+10$$

10 માં 1 ઍડ કરો.

$$y=11$$

-x-y=-5માં y માટે 11 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-x-11=-5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 11 ઍડ કરો.

$$-x=6$$

બન્ને બાજુનો -1 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-6$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-6,y=11$$