{l}{2x+9y=3}{3x+2y=-7} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 9 y = 3 } \\ { 3 x + 2 y = - 7 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-3$$

$$y=1$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2x+9y=3,3x+2y=-7$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$2x+9y=3$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 9y નો ઘટાડો કરો.

$$2x=-9y+3$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{2}\left(-9y+3\right)$$

-9y+3 ને \frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{9}{2}y+\frac{3}{2}$$

અન્ય સમીકરણ, 3x+2y=-7 માં x માટે \frac{-9y+3}{2} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3\left(-\frac{9}{2}y+\frac{3}{2}\right)+2y=-7$$

\frac{-9y+3}{2} ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{27}{2}y+\frac{9}{2}+2y=-7$$

2y માં -\frac{27y}{2} ઍડ કરો.

$$-\frac{23}{2}y+\frac{9}{2}=-7$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{9}{2} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{23}{2}y=-\frac{23}{2}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{23}{2} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=1$$

x=-\frac{9}{2}y+\frac{3}{2}માં y માટે 1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{-9+3}{2}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{9}{2} માં \frac{3}{2} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-3$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-3,y=1$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$2x+9y=3,3x+2y=-7$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}2&9\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&9\\3&2\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&9\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-7\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-7\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-9\times 3}&-\frac{9}{2\times 2-9\times 3}\\-\frac{3}{2\times 2-9\times 3}&\frac{2}{2\times 2-9\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-7\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{23}&\frac{9}{23}\\\frac{3}{23}&-\frac{2}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-7\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{23}\times 3+\frac{9}{23}\left(-7\right)\\\frac{3}{23}\times 3-\frac{2}{23}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-3,y=1$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$2x+9y=3,3x+2y=-7$$

2x અને 3x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$3\times 2x+3\times 9y=3\times 3,2\times 3x+2\times 2y=2\left(-7\right)$$

સરળ બનાવો.

$$6x+27y=9,6x+4y=-14$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 6x+27y=9માંથી 6x+4y=-14 ને ઘટાડો.

$$6x-6x+27y-4y=9+14$$

-6x માં 6x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 6x અને -6x ને વિભાજિત કરો.

$$27y-4y=9+14$$

-4y માં 27y ઍડ કરો.

$$23y=9+14$$

14 માં 9 ઍડ કરો.

$$23y=23$$

બન્ને બાજુનો 23 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=1$$

3x+2y=-7માં y માટે 1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$3x+2=-7$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 2 નો ઘટાડો કરો.

$$3x=-9$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-3$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-3,y=1$$