{l}{2x+9y=19}{4x+my=53} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 9 y = 19 } \\ { 4 x + m y = 53 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-\frac{477-19m}{2\left(m-18\right)}$$

$$y=\frac{15}{m-18}$$

$$m\neq 18$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$2x+9y=19$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 9y નો ઘટાડો કરો.

$$2x=-9y+19$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{2}\left(-9y+19\right)$$

-9y+19 ને \frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}$$

અન્ય સમીકરણ, 4x+my=53 માં x માટે \frac{-9y+19}{2} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$4\left(-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}\right)+my=53$$

\frac{-9y+19}{2} ને 4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-18y+38+my=53$$

my માં -18y ઍડ કરો.

$$\left(m-18\right)y+38=53$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 38 નો ઘટાડો કરો.

$$\left(m-18\right)y=15$$

બન્ને બાજુનો -18+m થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{15}{m-18}$$

x=-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}માં y માટે \frac{15}{-18+m} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{9}{2}\times \frac{15}{m-18}+\frac{19}{2}$$

\frac{15}{-18+m} ને -\frac{9}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{135}{2\left(m-18\right)}+\frac{19}{2}$$

-\frac{135}{2\left(-18+m\right)} માં \frac{19}{2} ઍડ કરો.

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)},y=\frac{15}{m-18}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2m-9\times 4}&-\frac{9}{2m-9\times 4}\\-\frac{4}{2m-9\times 4}&\frac{2}{2m-9\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2\left(m-18\right)}&-\frac{9}{2\left(m-18\right)}\\-\frac{2}{m-18}&\frac{1}{m-18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2\left(m-18\right)}\times 19+\left(-\frac{9}{2\left(m-18\right)}\right)\times 53\\\left(-\frac{2}{m-18}\right)\times 19+\frac{1}{m-18}\times 53\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)}\\\frac{15}{m-18}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)},y=\frac{15}{m-18}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

2x અને 4x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 4 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$4\times 2x+4\times 9y=4\times 19,2\times 4x+2my=2\times 53$$

સરળ બનાવો.

$$8x+36y=76,8x+2my=106$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 8x+36y=76માંથી 8x+2my=106 ને ઘટાડો.

$$8x-8x+36y+\left(-2m\right)y=76-106$$

-8x માં 8x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 8x અને -8x ને વિભાજિત કરો.

$$36y+\left(-2m\right)y=76-106$$

-2my માં 36y ઍડ કરો.

$$\left(36-2m\right)y=76-106$$

-106 માં 76 ઍડ કરો.

$$\left(36-2m\right)y=-30$$

બન્ને બાજુનો 36-2m થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{15}{18-m}$$

4x+my=53માં y માટે -\frac{15}{18-m} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$4x+m\left(-\frac{15}{18-m}\right)=53$$

-\frac{15}{18-m} ને m વાર ગુણાકાર કરો.

$$4x-\frac{15m}{18-m}=53$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{15m}{18-m} ઍડ કરો.

$$4x=\frac{2\left(477-19m\right)}{18-m}$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{477-19m}{2\left(18-m\right)}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{477-19m}{2\left(18-m\right)},y=-\frac{15}{18-m}$$