{l}{2x+7y=3}{5x+71y=9} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 7 y = 3 } \\ { 5 x + 71 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = \frac{150}{107} = 1\frac{43}{107} \approx 1.401869159$$

$$y=\frac{3}{107}\approx 0.028037383$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2x+7y=3,5x+71y=9$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$2x+7y=3$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 7y નો ઘટાડો કરો.

$$2x=-7y+3$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{2}\left(-7y+3\right)$$

-7y+3 ને \frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{7}{2}y+\frac{3}{2}$$

અન્ય સમીકરણ, 5x+71y=9 માં x માટે \frac{-7y+3}{2} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$5\left(-\frac{7}{2}y+\frac{3}{2}\right)+71y=9$$

\frac{-7y+3}{2} ને 5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{35}{2}y+\frac{15}{2}+71y=9$$

71y માં -\frac{35y}{2} ઍડ કરો.

$$\frac{107}{2}y+\frac{15}{2}=9$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{15}{2} નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{107}{2}y=\frac{3}{2}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{107}{2} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=\frac{3}{107}$$

x=-\frac{7}{2}y+\frac{3}{2}માં y માટે \frac{3}{107} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{7}{2}\times \frac{3}{107}+\frac{3}{2}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{7}{2} નો \frac{3}{107} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{21}{214}+\frac{3}{2}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{21}{214} માં \frac{3}{2} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{150}{107}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{150}{107},y=\frac{3}{107}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$2x+7y=3,5x+71y=9$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}2&7\\5&71\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&7\\5&71\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\5&71\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&7\\5&71\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\5&71\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\9\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\5&71\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\9\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\5&71\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{71}{2\times 71-7\times 5}&-\frac{7}{2\times 71-7\times 5}\\-\frac{5}{2\times 71-7\times 5}&\frac{2}{2\times 71-7\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\9\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{71}{107}&-\frac{7}{107}\\-\frac{5}{107}&\frac{2}{107}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\9\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{71}{107}\times 3-\frac{7}{107}\times 9\\-\frac{5}{107}\times 3+\frac{2}{107}\times 9\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{150}{107}\\\frac{3}{107}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{150}{107},y=\frac{3}{107}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$2x+7y=3,5x+71y=9$$

2x અને 5x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 5 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$5\times 2x+5\times 7y=5\times 3,2\times 5x+2\times 71y=2\times 9$$

સરળ બનાવો.

$$10x+35y=15,10x+142y=18$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 10x+35y=15માંથી 10x+142y=18 ને ઘટાડો.

$$10x-10x+35y-142y=15-18$$

-10x માં 10x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 10x અને -10x ને વિભાજિત કરો.

$$35y-142y=15-18$$

-142y માં 35y ઍડ કરો.

$$-107y=15-18$$

-18 માં 15 ઍડ કરો.

$$-107y=-3$$

બન્ને બાજુનો -107 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{3}{107}$$

5x+71y=9માં y માટે \frac{3}{107} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$5x+71\times \frac{3}{107}=9$$

\frac{3}{107} ને 71 વાર ગુણાકાર કરો.

$$5x+\frac{213}{107}=9$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{213}{107} નો ઘટાડો કરો.

$$5x=\frac{750}{107}$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{150}{107}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{150}{107},y=\frac{3}{107}$$