{l}{2x+5y=130}{4x+3y=218} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 130 } \\ { 4 x + 3 y = 218 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=50$$

$$y=6$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2x+5y=130,4x+3y=218$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$2x+5y=130$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 5y નો ઘટાડો કરો.

$$2x=-5y+130$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+130\right)$$

-5y+130 ને \frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{5}{2}y+65$$

અન્ય સમીકરણ, 4x+3y=218 માં x માટે -\frac{5y}{2}+65 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$4\left(-\frac{5}{2}y+65\right)+3y=218$$

-\frac{5y}{2}+65 ને 4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-10y+260+3y=218$$

3y માં -10y ઍડ કરો.

$$-7y+260=218$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 260 નો ઘટાડો કરો.

$$-7y=-42$$

બન્ને બાજુનો -7 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=6$$

x=-\frac{5}{2}y+65માં y માટે 6 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{5}{2}\times 6+65$$

6 ને -\frac{5}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-15+65$$

-15 માં 65 ઍડ કરો.

$$x=50$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=50,y=6$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$2x+5y=130,4x+3y=218$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}130\\218\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&5\\4&3\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\218\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\218\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\218\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-5\times 4}&-\frac{5}{2\times 3-5\times 4}\\-\frac{4}{2\times 3-5\times 4}&\frac{2}{2\times 3-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\218\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{14}&\frac{5}{14}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\218\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{14}\times 130+\frac{5}{14}\times 218\\\frac{2}{7}\times 130-\frac{1}{7}\times 218\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\6\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=50,y=6$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$2x+5y=130,4x+3y=218$$

2x અને 4x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 4 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$4\times 2x+4\times 5y=4\times 130,2\times 4x+2\times 3y=2\times 218$$

સરળ બનાવો.

$$8x+20y=520,8x+6y=436$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 8x+20y=520માંથી 8x+6y=436 ને ઘટાડો.

$$8x-8x+20y-6y=520-436$$

-8x માં 8x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 8x અને -8x ને વિભાજિત કરો.

$$20y-6y=520-436$$

-6y માં 20y ઍડ કરો.

$$14y=520-436$$

-436 માં 520 ઍડ કરો.

$$14y=84$$

બન્ને બાજુનો 14 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=6$$

4x+3y=218માં y માટે 6 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$4x+3\times 6=218$$

6 ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$4x+18=218$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 18 નો ઘટાડો કરો.

$$4x=200$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=50$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=50,y=6$$