{l}{2x+3y=5}{3x+12y=70} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 12 y = 70 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-10$$

$$y = \frac{25}{3} = 8\frac{1}{3} \approx 8.333333333$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2x+3y=5,3x+12y=70$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$2x+3y=5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 3y નો ઘટાડો કરો.

$$2x=-3y+5$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+5\right)$$

-3y+5 ને \frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

અન્ય સમીકરણ, 3x+12y=70 માં x માટે \frac{-3y+5}{2} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3\left(-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)+12y=70$$

\frac{-3y+5}{2} ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{15}{2}+12y=70$$

12y માં -\frac{9y}{2} ઍડ કરો.

$$\frac{15}{2}y+\frac{15}{2}=70$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{15}{2} નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{15}{2}y=\frac{125}{2}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{15}{2} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=\frac{25}{3}$$

x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}માં y માટે \frac{25}{3} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{25}{3}+\frac{5}{2}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{3}{2} નો \frac{25}{3} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{-25+5}{2}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{25}{2} માં \frac{5}{2} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-10$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-10,y=\frac{25}{3}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$2x+3y=5,3x+12y=70$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\3&12\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{2\times 12-3\times 3}&-\frac{3}{2\times 12-3\times 3}\\-\frac{3}{2\times 12-3\times 3}&\frac{2}{2\times 12-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\times 5-\frac{1}{5}\times 70\\-\frac{1}{5}\times 5+\frac{2}{15}\times 70\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\\frac{25}{3}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-10,y=\frac{25}{3}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$2x+3y=5,3x+12y=70$$

2x અને 3x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$3\times 2x+3\times 3y=3\times 5,2\times 3x+2\times 12y=2\times 70$$

સરળ બનાવો.

$$6x+9y=15,6x+24y=140$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 6x+9y=15માંથી 6x+24y=140 ને ઘટાડો.

$$6x-6x+9y-24y=15-140$$

-6x માં 6x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 6x અને -6x ને વિભાજિત કરો.

$$9y-24y=15-140$$

-24y માં 9y ઍડ કરો.

$$-15y=15-140$$

-140 માં 15 ઍડ કરો.

$$-15y=-125$$

બન્ને બાજુનો -15 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{25}{3}$$

3x+12y=70માં y માટે \frac{25}{3} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$3x+12\times \frac{25}{3}=70$$

\frac{25}{3} ને 12 વાર ગુણાકાર કરો.

$$3x+100=70$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 100 નો ઘટાડો કરો.

$$3x=-30$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-10$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-10,y=\frac{25}{3}$$