{l}{2x+3y=30}{6x+8y=42} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 30 } \\ { 6 x + 8 y = 42 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-57$$

$$y=48$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2x+3y=30,6x+8y=42$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$2x+3y=30$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 3y નો ઘટાડો કરો.

$$2x=-3y+30$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+30\right)$$

-3y+30 ને \frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{3}{2}y+15$$

અન્ય સમીકરણ, 6x+8y=42 માં x માટે -\frac{3y}{2}+15 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$6\left(-\frac{3}{2}y+15\right)+8y=42$$

-\frac{3y}{2}+15 ને 6 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-9y+90+8y=42$$

8y માં -9y ઍડ કરો.

$$-y+90=42$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 90 નો ઘટાડો કરો.

$$-y=-48$$

બન્ને બાજુનો -1 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=48$$

x=-\frac{3}{2}y+15માં y માટે 48 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{3}{2}\times 48+15$$

48 ને -\frac{3}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-72+15$$

-72 માં 15 ઍડ કરો.

$$x=-57$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-57,y=48$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$2x+3y=30,6x+8y=42$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\42\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\6&8\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\42\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\42\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\42\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{2\times 8-3\times 6}&-\frac{3}{2\times 8-3\times 6}\\-\frac{6}{2\times 8-3\times 6}&\frac{2}{2\times 8-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\42\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4&\frac{3}{2}\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\42\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\times 30+\frac{3}{2}\times 42\\3\times 30-42\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-57\\48\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-57,y=48$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$2x+3y=30,6x+8y=42$$

2x અને 6x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 6 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$6\times 2x+6\times 3y=6\times 30,2\times 6x+2\times 8y=2\times 42$$

સરળ બનાવો.

$$12x+18y=180,12x+16y=84$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 12x+18y=180માંથી 12x+16y=84 ને ઘટાડો.

$$12x-12x+18y-16y=180-84$$

-12x માં 12x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 12x અને -12x ને વિભાજિત કરો.

$$18y-16y=180-84$$

-16y માં 18y ઍડ કરો.

$$2y=180-84$$

-84 માં 180 ઍડ કરો.

$$2y=96$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=48$$

6x+8y=42માં y માટે 48 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$6x+8\times 48=42$$

48 ને 8 વાર ગુણાકાર કરો.

$$6x+384=42$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 384 નો ઘટાડો કરો.

$$6x=-342$$

બન્ને બાજુનો 6 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-57$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-57,y=48$$