{l}{2x+2y=0}{3x-y=2} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 2 y = 0 } \\ { 3 x - y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2x+2y=0,3x-y=2$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$2x+2y=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 2y નો ઘટાડો કરો.

$$2x=-2y$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2\right)y$$

-2y ને \frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-y$$

અન્ય સમીકરણ, 3x-y=2 માં x માટે -y નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3\left(-1\right)y-y=2$$

-y ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-3y-y=2$$

-y માં -3y ઍડ કરો.

$$-4y=2$$

બન્ને બાજુનો -4 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{1}{2}$$

x=-yમાં y માટે -\frac{1}{2} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\left(-\frac{1}{2}\right)$$

-\frac{1}{2} ને -1 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{2}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{1}{2},y=-\frac{1}{2}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$2x+2y=0,3x-y=2$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}2&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&2\\3&-1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-2\times 3}&-\frac{2}{2\left(-1\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-1\right)-2\times 3}&\frac{2}{2\left(-1\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 2\\-\frac{1}{4}\times 2\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{1}{2},y=-\frac{1}{2}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$2x+2y=0,3x-y=2$$

2x અને 3x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$3\times 2x+3\times 2y=0,2\times 3x+2\left(-1\right)y=2\times 2$$

સરળ બનાવો.

$$6x+6y=0,6x-2y=4$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 6x+6y=0માંથી 6x-2y=4 ને ઘટાડો.

$$6x-6x+6y+2y=-4$$

-6x માં 6x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 6x અને -6x ને વિભાજિત કરો.

$$6y+2y=-4$$

2y માં 6y ઍડ કરો.

$$8y=-4$$

બન્ને બાજુનો 8 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{1}{2}$$

3x-y=2માં y માટે -\frac{1}{2} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$3x-\left(-\frac{1}{2}\right)=2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{1}{2} નો ઘટાડો કરો.

$$3x=\frac{3}{2}$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{2}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{1}{2},y=-\frac{1}{2}$$