{l}{2bx+ay=2ab}{bx-ay=4ab} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 2 b x + a y = 2 a b } \\ { b x - a y = 4 a b } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો (જટિલ સમાધાન)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2a\text{, }y=-2b\text{, }&\text{unconditionally}\\x=0\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&a=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=0\text{, }&b=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$2bx+ay=2ab$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી ay નો ઘટાડો કરો.

$$2bx=\left(-a\right)y+2ab$$

બન્ને બાજુનો 2b થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{2b}\left(\left(-a\right)y+2ab\right)$$

a\left(-y+2b\right) ને \frac{1}{2b} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a$$

અન્ય સમીકરણ, bx+\left(-a\right)y=4ab માં x માટે a-\frac{ay}{2b} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$b\left(\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a\right)+\left(-a\right)y=4ab$$

a-\frac{ay}{2b} ને b વાર ગુણાકાર કરો.

$$\left(-\frac{a}{2}\right)y+ab+\left(-a\right)y=4ab$$

-ay માં -\frac{ay}{2} ઍડ કરો.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y+ab=4ab$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી ba નો ઘટાડો કરો.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y=3ab$$

બન્ને બાજુનો -\frac{3a}{2} થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-2b$$

x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+aમાં y માટે -2b ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)\left(-2b\right)+a$$

-2b ને -\frac{a}{2b} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=a+a$$

a માં a ઍડ કરો.

$$x=2a$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=2a,y=-2b$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}&-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}\\-\frac{b}{2b\left(-a\right)-ab}&\frac{2b}{2b\left(-a\right)-ab}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}&\frac{1}{3b}\\\frac{1}{3a}&-\frac{2}{3a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}\times 2ab+\frac{1}{3b}\times 4ab\\\frac{1}{3a}\times 2ab+\left(-\frac{2}{3a}\right)\times 4ab\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2a\\-2b\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=2a,y=-2b$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

2bx અને bx ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો b સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 2b સાથે ગુણાકાર કરો.

$$b\times 2bx+bay=b\times 2ab,2bbx+2b\left(-a\right)y=2b\times 4ab$$

સરળ બનાવો.

$$2b^{2}x+aby=2ab^{2},2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2}$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 2b^{2}x+aby=2ab^{2}માંથી 2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2} ને ઘટાડો.

$$2b^{2}x+\left(-2b^{2}\right)x+aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

-2b^{2}x માં 2b^{2}x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 2b^{2}x અને -2b^{2}x ને વિભાજિત કરો.

$$aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

2bay માં bay ઍડ કરો.

$$3aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

-8ab^{2} માં 2ab^{2} ઍડ કરો.

$$3aby=-6ab^{2}$$

બન્ને બાજુનો 3ba થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-2b$$

bx+\left(-a\right)y=4abમાં y માટે -2b ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$bx+\left(-a\right)\left(-2b\right)=4ab$$

-2b ને -a વાર ગુણાકાર કરો.

$$bx+2ab=4ab$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 2ba નો ઘટાડો કરો.

$$bx=2ab$$

બન્ને બાજુનો b થી ભાગાકાર કરો.

$$x=2a$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=2a,y=-2b$$

x, y માટે ઉકેલો

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2a\text{, }y=-2b\text{, }&\text{unconditionally}\\x=0\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=0\text{, }&b=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$2bx+ay=2ab$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી ay નો ઘટાડો કરો.

$$2bx=\left(-a\right)y+2ab$$

બન્ને બાજુનો 2b થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{2b}\left(\left(-a\right)y+2ab\right)$$

a\left(-y+2b\right) ને \frac{1}{2b} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a$$

અન્ય સમીકરણ, bx+\left(-a\right)y=4ab માં x માટે a-\frac{ay}{2b} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$b\left(\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a\right)+\left(-a\right)y=4ab$$

a-\frac{ay}{2b} ને b વાર ગુણાકાર કરો.

$$\left(-\frac{a}{2}\right)y+ab+\left(-a\right)y=4ab$$

-ay માં -\frac{ay}{2} ઍડ કરો.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y+ab=4ab$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી ba નો ઘટાડો કરો.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y=3ab$$

બન્ને બાજુનો -\frac{3a}{2} થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-2b$$

x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+aમાં y માટે -2b ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)\left(-2b\right)+a$$

-2b ને -\frac{a}{2b} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=a+a$$

a માં a ઍડ કરો.

$$x=2a$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=2a,y=-2b$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}&-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}\\-\frac{b}{2b\left(-a\right)-ab}&\frac{2b}{2b\left(-a\right)-ab}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}&\frac{1}{3b}\\\frac{1}{3a}&-\frac{2}{3a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}\times 2ab+\frac{1}{3b}\times 4ab\\\frac{1}{3a}\times 2ab+\left(-\frac{2}{3a}\right)\times 4ab\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2a\\-2b\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=2a,y=-2b$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

2bx અને bx ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો b સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 2b સાથે ગુણાકાર કરો.

$$b\times 2bx+bay=b\times 2ab,2bbx+2b\left(-a\right)y=2b\times 4ab$$

સરળ બનાવો.

$$2b^{2}x+aby=2ab^{2},2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2}$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 2b^{2}x+aby=2ab^{2}માંથી 2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2} ને ઘટાડો.

$$2b^{2}x+\left(-2b^{2}\right)x+aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

-2b^{2}x માં 2b^{2}x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 2b^{2}x અને -2b^{2}x ને વિભાજિત કરો.

$$aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

2bay માં bay ઍડ કરો.

$$3aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

-8ab^{2} માં 2ab^{2} ઍડ કરો.

$$3aby=-6ab^{2}$$

બન્ને બાજુનો 3ba થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-2b$$

bx+\left(-a\right)y=4abમાં y માટે -2b ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$bx+\left(-a\right)\left(-2b\right)=4ab$$

-2b ને -a વાર ગુણાકાર કરો.

$$bx+2ab=4ab$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 2ba નો ઘટાડો કરો.

$$bx=2ab$$

બન્ને બાજુનો b થી ભાગાકાર કરો.

$$x=2a$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=2a,y=-2b$$