{l}{18x-14y=-5}{18x+2y=-20} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 18 x - 14 y = - 5 } \\ { 18 x + 2 y = - 20 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = -\frac{145}{144} = -1\frac{1}{144} \approx -1.006944444$$

$$y=-\frac{15}{16}=-0.9375$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$18x-14y=-5,18x+2y=-20$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$18x-14y=-5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 14y ઍડ કરો.

$$18x=14y-5$$

બન્ને બાજુનો 18 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{18}\left(14y-5\right)$$

14y-5 ને \frac{1}{18} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{7}{9}y-\frac{5}{18}$$

અન્ય સમીકરણ, 18x+2y=-20 માં x માટે \frac{7y}{9}-\frac{5}{18} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$18\left(\frac{7}{9}y-\frac{5}{18}\right)+2y=-20$$

\frac{7y}{9}-\frac{5}{18} ને 18 વાર ગુણાકાર કરો.

$$14y-5+2y=-20$$

2y માં 14y ઍડ કરો.

$$16y-5=-20$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 5 ઍડ કરો.

$$16y=-15$$

બન્ને બાજુનો 16 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{15}{16}$$

x=\frac{7}{9}y-\frac{5}{18}માં y માટે -\frac{15}{16} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{7}{9}\left(-\frac{15}{16}\right)-\frac{5}{18}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને \frac{7}{9} નો -\frac{15}{16} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{35}{48}-\frac{5}{18}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{35}{48} માં -\frac{5}{18} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{145}{144}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{145}{144},y=-\frac{15}{16}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$18x-14y=-5,18x+2y=-20$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}&-\frac{-14}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}\\-\frac{18}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}&\frac{18}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{144}&\frac{7}{144}\\-\frac{1}{16}&\frac{1}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{144}\left(-5\right)+\frac{7}{144}\left(-20\right)\\-\frac{1}{16}\left(-5\right)+\frac{1}{16}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{145}{144}\\-\frac{15}{16}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-\frac{145}{144},y=-\frac{15}{16}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$18x-14y=-5,18x+2y=-20$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 18x-14y=-5માંથી 18x+2y=-20 ને ઘટાડો.

$$18x-18x-14y-2y=-5+20$$

-18x માં 18x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 18x અને -18x ને વિભાજિત કરો.

$$-14y-2y=-5+20$$

-2y માં -14y ઍડ કરો.

$$-16y=-5+20$$

20 માં -5 ઍડ કરો.

$$-16y=15$$

બન્ને બાજુનો -16 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{15}{16}$$

18x+2y=-20માં y માટે -\frac{15}{16} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$18x+2\left(-\frac{15}{16}\right)=-20$$

-\frac{15}{16} ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$18x-\frac{15}{8}=-20$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{15}{8} ઍડ કરો.

$$18x=-\frac{145}{8}$$

બન્ને બાજુનો 18 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{145}{144}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{145}{144},y=-\frac{15}{16}$$