{l}{16x-7y=-7}{20x-19y=-6} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 16 x - 7 y = - 7 } \\ { 20 x - 19 y = - 6 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-\frac{91}{164}\approx -0.554878049$$

$$y=-\frac{11}{41}\approx -0.268292683$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$16x-7y=-7,20x-19y=-6$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$16x-7y=-7$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 7y ઍડ કરો.

$$16x=7y-7$$

બન્ને બાજુનો 16 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{16}\left(7y-7\right)$$

-7+7y ને \frac{1}{16} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{7}{16}y-\frac{7}{16}$$

અન્ય સમીકરણ, 20x-19y=-6 માં x માટે \frac{-7+7y}{16} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$20\left(\frac{7}{16}y-\frac{7}{16}\right)-19y=-6$$

\frac{-7+7y}{16} ને 20 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{35}{4}y-\frac{35}{4}-19y=-6$$

-19y માં \frac{35y}{4} ઍડ કરો.

$$-\frac{41}{4}y-\frac{35}{4}=-6$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{35}{4} ઍડ કરો.

$$-\frac{41}{4}y=\frac{11}{4}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{41}{4} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=-\frac{11}{41}$$

x=\frac{7}{16}y-\frac{7}{16}માં y માટે -\frac{11}{41} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{7}{16}\left(-\frac{11}{41}\right)-\frac{7}{16}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને \frac{7}{16} નો -\frac{11}{41} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{77}{656}-\frac{7}{16}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{77}{656} માં -\frac{7}{16} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{91}{164}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{91}{164},y=-\frac{11}{41}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$16x-7y=-7,20x-19y=-6$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-6\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-6\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{16\left(-19\right)-\left(-7\times 20\right)}&-\frac{-7}{16\left(-19\right)-\left(-7\times 20\right)}\\-\frac{20}{16\left(-19\right)-\left(-7\times 20\right)}&\frac{16}{16\left(-19\right)-\left(-7\times 20\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-6\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{164}&-\frac{7}{164}\\\frac{5}{41}&-\frac{4}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-6\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{164}\left(-7\right)-\frac{7}{164}\left(-6\right)\\\frac{5}{41}\left(-7\right)-\frac{4}{41}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{91}{164}\\-\frac{11}{41}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-\frac{91}{164},y=-\frac{11}{41}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$16x-7y=-7,20x-19y=-6$$

16x અને 20x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 20 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 16 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$20\times 16x+20\left(-7\right)y=20\left(-7\right),16\times 20x+16\left(-19\right)y=16\left(-6\right)$$

સરળ બનાવો.

$$320x-140y=-140,320x-304y=-96$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 320x-140y=-140માંથી 320x-304y=-96 ને ઘટાડો.

$$320x-320x-140y+304y=-140+96$$

-320x માં 320x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 320x અને -320x ને વિભાજિત કરો.

$$-140y+304y=-140+96$$

304y માં -140y ઍડ કરો.

$$164y=-140+96$$

96 માં -140 ઍડ કરો.

$$164y=-44$$

બન્ને બાજુનો 164 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{11}{41}$$

20x-19y=-6માં y માટે -\frac{11}{41} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$20x-19\left(-\frac{11}{41}\right)=-6$$

-\frac{11}{41} ને -19 વાર ગુણાકાર કરો.

$$20x+\frac{209}{41}=-6$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{209}{41} નો ઘટાડો કરો.

$$20x=-\frac{455}{41}$$

બન્ને બાજુનો 20 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{91}{164}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{91}{164},y=-\frac{11}{41}$$