{l}{15x-5y=4000}{9x-2y=4000} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 15 x - 5 y = 4000 } \\ { 9 x - 2 y = 4000 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=800$$

$$y=1600$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$15x-5y=4000,9x-2y=4000$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$15x-5y=4000$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 5y ઍડ કરો.

$$15x=5y+4000$$

બન્ને બાજુનો 15 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{15}\left(5y+4000\right)$$

4000+5y ને \frac{1}{15} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{800}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, 9x-2y=4000 માં x માટે \frac{800+y}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$9\left(\frac{1}{3}y+\frac{800}{3}\right)-2y=4000$$

\frac{800+y}{3} ને 9 વાર ગુણાકાર કરો.

$$3y+2400-2y=4000$$

-2y માં 3y ઍડ કરો.

$$y+2400=4000$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 2400 નો ઘટાડો કરો.

$$y=1600$$

x=\frac{1}{3}y+\frac{800}{3}માં y માટે 1600 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{1}{3}\times 1600+\frac{800}{3}$$

1600 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{1600+800}{3}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{1600}{3} માં \frac{800}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=800$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=800,y=1600$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$15x-5y=4000,9x-2y=4000$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}15&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4000\\4000\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}15&-5\\9&-2\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4000\\4000\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4000\\4000\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4000\\4000\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&-\frac{-5}{15\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\\-\frac{9}{15\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&\frac{15}{15\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4000\\4000\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15}&\frac{1}{3}\\-\frac{3}{5}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4000\\4000\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15}\times 4000+\frac{1}{3}\times 4000\\-\frac{3}{5}\times 4000+4000\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}800\\1600\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=800,y=1600$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$15x-5y=4000,9x-2y=4000$$

15x અને 9x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 9 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 15 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$9\times 15x+9\left(-5\right)y=9\times 4000,15\times 9x+15\left(-2\right)y=15\times 4000$$

સરળ બનાવો.

$$135x-45y=36000,135x-30y=60000$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 135x-45y=36000માંથી 135x-30y=60000 ને ઘટાડો.

$$135x-135x-45y+30y=36000-60000$$

-135x માં 135x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 135x અને -135x ને વિભાજિત કરો.

$$-45y+30y=36000-60000$$

30y માં -45y ઍડ કરો.

$$-15y=36000-60000$$

-60000 માં 36000 ઍડ કરો.

$$-15y=-24000$$

બન્ને બાજુનો -15 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=1600$$

9x-2y=4000માં y માટે 1600 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$9x-2\times 1600=4000$$

1600 ને -2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$9x-3200=4000$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 3200 ઍડ કરો.

$$9x=7200$$

બન્ને બાજુનો 9 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=800$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=800,y=1600$$