{l}{15x+107y=1}{71x+179y=-287} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 15 x + 107 y = 1 } \\ { 71 x + 179 y = - 287 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = -\frac{3861}{614} = -6\frac{177}{614} \approx -6.288273616$$

$$y=\frac{547}{614}\approx 0.890879479$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$15x+107y=1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 107y નો ઘટાડો કરો.

$$15x=-107y+1$$

બન્ને બાજુનો 15 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{15}\left(-107y+1\right)$$

-107y+1 ને \frac{1}{15} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15}$$

અન્ય સમીકરણ, 71x+179y=-287 માં x માટે \frac{-107y+1}{15} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$71\left(-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15}\right)+179y=-287$$

\frac{-107y+1}{15} ને 71 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{7597}{15}y+\frac{71}{15}+179y=-287$$

179y માં -\frac{7597y}{15} ઍડ કરો.

$$-\frac{4912}{15}y+\frac{71}{15}=-287$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{71}{15} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{4912}{15}y=-\frac{4376}{15}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{4912}{15} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=\frac{547}{614}$$

x=-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15}માં y માટે \frac{547}{614} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{107}{15}\times \frac{547}{614}+\frac{1}{15}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{107}{15} નો \frac{547}{614} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{58529}{9210}+\frac{1}{15}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{58529}{9210} માં \frac{1}{15} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{3861}{614}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ માટે \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), પ્રતિલોભ મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શક્યે છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{179}{15\times 179-107\times 71}&-\frac{107}{15\times 179-107\times 71}\\-\frac{71}{15\times 179-107\times 71}&\frac{15}{15\times 179-107\times 71}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{179}{4912}&\frac{107}{4912}\\\frac{71}{4912}&-\frac{15}{4912}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{179}{4912}+\frac{107}{4912}\left(-287\right)\\\frac{71}{4912}-\frac{15}{4912}\left(-287\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3861}{614}\\\frac{547}{614}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

15x અને 71x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 71 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 15 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$71\times 15x+71\times 107y=71,15\times 71x+15\times 179y=15\left(-287\right)$$

સરળ બનાવો.

$$1065x+7597y=71,1065x+2685y=-4305$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 1065x+7597y=71માંથી 1065x+2685y=-4305 ને ઘટાડો.

$$1065x-1065x+7597y-2685y=71+4305$$

-1065x માં 1065x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 1065x અને -1065x ને વિભાજિત કરો.

$$7597y-2685y=71+4305$$

-2685y માં 7597y ઍડ કરો.

$$4912y=71+4305$$

4305 માં 71 ઍડ કરો.

$$4912y=4376$$

બન્ને બાજુનો 4912 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{547}{614}$$

71x+179y=-287માં y માટે \frac{547}{614} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$71x+179\times \frac{547}{614}=-287$$

\frac{547}{614} ને 179 વાર ગુણાકાર કરો.

$$71x+\frac{97913}{614}=-287$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{97913}{614} નો ઘટાડો કરો.

$$71x=-\frac{274131}{614}$$

બન્ને બાજુનો 71 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{3861}{614}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$