{l}{13x+20y=48}{20x+93y=1} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 13 x + 20 y = 48 } \\ { 20 x + 93 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = \frac{4444}{809} = 5\frac{399}{809} \approx 5.493201483$$

$$y = -\frac{947}{809} = -1\frac{138}{809} \approx -1.170580964$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$13x+20y=48$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 20y નો ઘટાડો કરો.

$$13x=-20y+48$$

બન્ને બાજુનો 13 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{13}\left(-20y+48\right)$$

-20y+48 ને \frac{1}{13} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13}$$

અન્ય સમીકરણ, 20x+93y=1 માં x માટે \frac{-20y+48}{13} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$20\left(-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13}\right)+93y=1$$

\frac{-20y+48}{13} ને 20 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{400}{13}y+\frac{960}{13}+93y=1$$

93y માં -\frac{400y}{13} ઍડ કરો.

$$\frac{809}{13}y+\frac{960}{13}=1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{960}{13} નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{809}{13}y=-\frac{947}{13}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{809}{13} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=-\frac{947}{809}$$

x=-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13}માં y માટે -\frac{947}{809} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{20}{13}\left(-\frac{947}{809}\right)+\frac{48}{13}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{20}{13} નો -\frac{947}{809} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{18940}{10517}+\frac{48}{13}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{18940}{10517} માં \frac{48}{13} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{4444}{809}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ માટે \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), પ્રતિલોભ મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શક્યે છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{13\times 93-20\times 20}&-\frac{20}{13\times 93-20\times 20}\\-\frac{20}{13\times 93-20\times 20}&\frac{13}{13\times 93-20\times 20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{809}&-\frac{20}{809}\\-\frac{20}{809}&\frac{13}{809}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{809}\times 48-\frac{20}{809}\\-\frac{20}{809}\times 48+\frac{13}{809}\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4444}{809}\\-\frac{947}{809}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

13x અને 20x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 20 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 13 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$20\times 13x+20\times 20y=20\times 48,13\times 20x+13\times 93y=13$$

સરળ બનાવો.

$$260x+400y=960,260x+1209y=13$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 260x+400y=960માંથી 260x+1209y=13 ને ઘટાડો.

$$260x-260x+400y-1209y=960-13$$

-260x માં 260x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 260x અને -260x ને વિભાજિત કરો.

$$400y-1209y=960-13$$

-1209y માં 400y ઍડ કરો.

$$-809y=960-13$$

-13 માં 960 ઍડ કરો.

$$-809y=947$$

બન્ને બાજુનો -809 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{947}{809}$$

20x+93y=1માં y માટે -\frac{947}{809} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$20x+93\left(-\frac{947}{809}\right)=1$$

-\frac{947}{809} ને 93 વાર ગુણાકાર કરો.

$$20x-\frac{88071}{809}=1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{88071}{809} ઍડ કરો.

$$20x=\frac{88880}{809}$$

બન્ને બાજુનો 20 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{4444}{809}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$