{l}{11x+5y=7}{6x+3y=21} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 11 x + 5 y = 7 } \\ { 6 x + 3 y = 21 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-28$$

$$y=63$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$11x+5y=7$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 5y નો ઘટાડો કરો.

$$11x=-5y+7$$

બન્ને બાજુનો 11 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{11}\left(-5y+7\right)$$

-5y+7 ને \frac{1}{11} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11}$$

અન્ય સમીકરણ, 6x+3y=21 માં x માટે \frac{-5y+7}{11} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$6\left(-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11}\right)+3y=21$$

\frac{-5y+7}{11} ને 6 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{30}{11}y+\frac{42}{11}+3y=21$$

3y માં -\frac{30y}{11} ઍડ કરો.

$$\frac{3}{11}y+\frac{42}{11}=21$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{42}{11} નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{3}{11}y=\frac{189}{11}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{3}{11} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=63$$

x=-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11}માં y માટે 63 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{5}{11}\times 63+\frac{7}{11}$$

63 ને -\frac{5}{11} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-315+7}{11}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{315}{11} માં \frac{7}{11} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-28$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-28,y=63$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11\times 3-5\times 6}&-\frac{5}{11\times 3-5\times 6}\\-\frac{6}{11\times 3-5\times 6}&\frac{11}{11\times 3-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{3}\\-2&\frac{11}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7-\frac{5}{3}\times 21\\-2\times 7+\frac{11}{3}\times 21\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-28\\63\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-28,y=63$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

11x અને 6x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 6 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 11 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$6\times 11x+6\times 5y=6\times 7,11\times 6x+11\times 3y=11\times 21$$

સરળ બનાવો.

$$66x+30y=42,66x+33y=231$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 66x+30y=42માંથી 66x+33y=231 ને ઘટાડો.

$$66x-66x+30y-33y=42-231$$

-66x માં 66x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 66x અને -66x ને વિભાજિત કરો.

$$30y-33y=42-231$$

-33y માં 30y ઍડ કરો.

$$-3y=42-231$$

-231 માં 42 ઍડ કરો.

$$-3y=-189$$

બન્ને બાજુનો -3 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=63$$

6x+3y=21માં y માટે 63 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$6x+3\times 63=21$$

63 ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$6x+189=21$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 189 નો ઘટાડો કરો.

$$6x=-168$$

બન્ને બાજુનો 6 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-28$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-28,y=63$$