{l}{11a=5b+48}{7a=13b-840} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 11 a = 5 b + 48 } \\ { 7 a = 13 b - 840 } \end{array} \right.$$

a, b માટે ઉકેલો

$$a = \frac{134}{3} = 44\frac{2}{3} \approx 44.666666667$$

$$b = \frac{266}{3} = 88\frac{2}{3} \approx 88.666666667$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 5b ઘટાડો.

$$11a-5b=48$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 13b ઘટાડો.

$$7a-13b=-840$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$11a-5b=48,7a-13b=-840$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને a ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને a માટે ઉકેલો.

$$11a-5b=48$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 5b ઍડ કરો.

$$11a=5b+48$$

બન્ને બાજુનો 11 થી ભાગાકાર કરો.

$$a=\frac{1}{11}\left(5b+48\right)$$

5b+48 ને \frac{1}{11} વાર ગુણાકાર કરો.

$$a=\frac{5}{11}b+\frac{48}{11}$$

અન્ય સમીકરણ, 7a-13b=-840 માં a માટે \frac{5b+48}{11} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$7\left(\frac{5}{11}b+\frac{48}{11}\right)-13b=-840$$

\frac{5b+48}{11} ને 7 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{35}{11}b+\frac{336}{11}-13b=-840$$

-13b માં \frac{35b}{11} ઍડ કરો.

$$-\frac{108}{11}b+\frac{336}{11}=-840$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{336}{11} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{108}{11}b=-\frac{9576}{11}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{108}{11} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$b=\frac{266}{3}$$

a=\frac{5}{11}b+\frac{48}{11}માં b માટે \frac{266}{3} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું a માટે ઉકેલો.

$$a=\frac{5}{11}\times \frac{266}{3}+\frac{48}{11}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને \frac{5}{11} નો \frac{266}{3} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$a=\frac{1330}{33}+\frac{48}{11}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{1330}{33} માં \frac{48}{11} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$a=\frac{134}{3}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$a=\frac{134}{3},b=\frac{266}{3}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 5b ઘટાડો.

$$11a-5b=48$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 13b ઘટાડો.

$$7a-13b=-840$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$11a-5b=48,7a-13b=-840$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}11&-5\\7&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\-840\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}11&-5\\7&-13\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&-5\\7&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&-5\\7&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&-5\\7&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\-840\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&-5\\7&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\-840\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&-5\\7&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\-840\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{11\left(-13\right)-\left(-5\times 7\right)}&-\frac{-5}{11\left(-13\right)-\left(-5\times 7\right)}\\-\frac{7}{11\left(-13\right)-\left(-5\times 7\right)}&\frac{11}{11\left(-13\right)-\left(-5\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\-840\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{108}&-\frac{5}{108}\\\frac{7}{108}&-\frac{11}{108}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\-840\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{108}\times 48-\frac{5}{108}\left(-840\right)\\\frac{7}{108}\times 48-\frac{11}{108}\left(-840\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{134}{3}\\\frac{266}{3}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો a અને b ને કાઢો.

$$a=\frac{134}{3},b=\frac{266}{3}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 5b ઘટાડો.

$$11a-5b=48$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 13b ઘટાડો.

$$7a-13b=-840$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$11a-5b=48,7a-13b=-840$$

11a અને 7a ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 7 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 11 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$7\times 11a+7\left(-5\right)b=7\times 48,11\times 7a+11\left(-13\right)b=11\left(-840\right)$$

સરળ બનાવો.

$$77a-35b=336,77a-143b=-9240$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 77a-35b=336માંથી 77a-143b=-9240 ને ઘટાડો.

$$77a-77a-35b+143b=336+9240$$

-77a માં 77a ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 77a અને -77a ને વિભાજિત કરો.

$$-35b+143b=336+9240$$

143b માં -35b ઍડ કરો.

$$108b=336+9240$$

9240 માં 336 ઍડ કરો.

$$108b=9576$$

બન્ને બાજુનો 108 થી ભાગાકાર કરો.

$$b=\frac{266}{3}$$

7a-13b=-840માં b માટે \frac{266}{3} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું a માટે ઉકેલો.

$$7a-13\times \frac{266}{3}=-840$$

\frac{266}{3} ને -13 વાર ગુણાકાર કરો.

$$7a-\frac{3458}{3}=-840$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{3458}{3} ઍડ કરો.

$$7a=\frac{938}{3}$$

બન્ને બાજુનો 7 થી ભાગાકાર કરો.

$$a=\frac{134}{3}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$a=\frac{134}{3},b=\frac{266}{3}$$