{l}{10x+4y=-12}{-9x-5y=1} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 10 x + 4 y = - 12 } \\ { - 9 x - 5 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-4$$

$$y=7$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$10x+4y=-12,-9x-5y=1$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$10x+4y=-12$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 4y નો ઘટાડો કરો.

$$10x=-4y-12$$

બન્ને બાજુનો 10 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{10}\left(-4y-12\right)$$

-4y-12 ને \frac{1}{10} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}$$

અન્ય સમીકરણ, -9x-5y=1 માં x માટે \frac{-2y-6}{5} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-9\left(-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}\right)-5y=1$$

\frac{-2y-6}{5} ને -9 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{18}{5}y+\frac{54}{5}-5y=1$$

-5y માં \frac{18y}{5} ઍડ કરો.

$$-\frac{7}{5}y+\frac{54}{5}=1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{54}{5} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{7}{5}y=-\frac{49}{5}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{7}{5} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=7$$

x=-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}માં y માટે 7 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{2}{5}\times 7-\frac{6}{5}$$

7 ને -\frac{2}{5} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-14-6}{5}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{14}{5} માં -\frac{6}{5} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-4$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-4,y=7$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$10x+4y=-12,-9x-5y=1$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\1\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{10\left(-5\right)-4\left(-9\right)}&-\frac{4}{10\left(-5\right)-4\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{10\left(-5\right)-4\left(-9\right)}&\frac{10}{10\left(-5\right)-4\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\1\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}&\frac{2}{7}\\-\frac{9}{14}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}\left(-12\right)+\frac{2}{7}\\-\frac{9}{14}\left(-12\right)-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-4,y=7$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$10x+4y=-12,-9x-5y=1$$

10x અને -9x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -9 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 10 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-9\times 10x-9\times 4y=-9\left(-12\right),10\left(-9\right)x+10\left(-5\right)y=10$$

સરળ બનાવો.

$$-90x-36y=108,-90x-50y=10$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -90x-36y=108માંથી -90x-50y=10 ને ઘટાડો.

$$-90x+90x-36y+50y=108-10$$

90x માં -90x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -90x અને 90x ને વિભાજિત કરો.

$$-36y+50y=108-10$$

50y માં -36y ઍડ કરો.

$$14y=108-10$$

-10 માં 108 ઍડ કરો.

$$14y=98$$

બન્ને બાજુનો 14 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=7$$

-9x-5y=1માં y માટે 7 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-9x-5\times 7=1$$

7 ને -5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-9x-35=1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 35 ઍડ કરો.

$$-9x=36$$

બન્ને બાજુનો -9 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-4$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-4,y=7$$