{l}{10x+1y=0}{10y+1x=27} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 10 x + 1 y = 0 } \\ { 10 y + 1 x = 27 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-\frac{3}{11}\approx -0.272727273$$

$$y = \frac{30}{11} = 2\frac{8}{11} \approx 2.727272727$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$10x+y=0,x+10y=27$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$10x+y=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી y નો ઘટાડો કરો.

$$10x=-y$$

બન્ને બાજુનો 10 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{10}\left(-1\right)y$$

-y ને \frac{1}{10} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{1}{10}y$$

અન્ય સમીકરણ, x+10y=27 માં x માટે -\frac{y}{10} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-\frac{1}{10}y+10y=27$$

10y માં -\frac{y}{10} ઍડ કરો.

$$\frac{99}{10}y=27$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{99}{10} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=\frac{30}{11}$$

x=-\frac{1}{10}yમાં y માટે \frac{30}{11} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{1}{10}\times \frac{30}{11}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{1}{10} નો \frac{30}{11} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{3}{11}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{3}{11},y=\frac{30}{11}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$10x+y=0,x+10y=27$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}10&1\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\27\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}10&1\\1&10\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&1\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\27\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\27\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\27\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{10\times 10-1}&-\frac{1}{10\times 10-1}\\-\frac{1}{10\times 10-1}&\frac{10}{10\times 10-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\27\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{99}&-\frac{1}{99}\\-\frac{1}{99}&\frac{10}{99}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\27\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{99}\times 27\\\frac{10}{99}\times 27\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{11}\\\frac{30}{11}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-\frac{3}{11},y=\frac{30}{11}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$10x+y=0,x+10y=27$$

10x અને x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 10 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$10x+y=0,10x+10\times 10y=10\times 27$$

સરળ બનાવો.

$$10x+y=0,10x+100y=270$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 10x+y=0માંથી 10x+100y=270 ને ઘટાડો.

$$10x-10x+y-100y=-270$$

-10x માં 10x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 10x અને -10x ને વિભાજિત કરો.

$$y-100y=-270$$

-100y માં y ઍડ કરો.

$$-99y=-270$$

બન્ને બાજુનો -99 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{30}{11}$$

x+10y=27માં y માટે \frac{30}{11} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x+10\times \frac{30}{11}=27$$

\frac{30}{11} ને 10 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x+\frac{300}{11}=27$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{300}{11} નો ઘટાડો કરો.

$$x=-\frac{3}{11}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{3}{11},y=\frac{30}{11}$$