{l}{0.5x+y=9}{1.6x+0.2y=13} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 0.5 x + y = 9 } \\ { 1.6 x + 0.2 y = 13 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = \frac{112}{15} = 7\frac{7}{15} \approx 7.466666667$$

$$y = \frac{79}{15} = 5\frac{4}{15} \approx 5.266666667$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$0.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$0.5x+y=9$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી y નો ઘટાડો કરો.

$$0.5x=-y+9$$

બન્ને બાજુનો 2 દ્વારા ગુણાકાર કરો.

$$x=2\left(-y+9\right)$$

-y+9 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-2y+18$$

અન્ય સમીકરણ, 1.6x+0.2y=13 માં x માટે -2y+18 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$1.6\left(-2y+18\right)+0.2y=13$$

-2y+18 ને 1.6 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-3.2y+28.8+0.2y=13$$

\frac{y}{5} માં -\frac{16y}{5} ઍડ કરો.

$$-3y+28.8=13$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 28.8 નો ઘટાડો કરો.

$$-3y=-15.8$$

બન્ને બાજુનો -3 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{79}{15}$$

x=-2y+18માં y માટે \frac{79}{15} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-2\times \frac{79}{15}+18$$

\frac{79}{15} ને -2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{158}{15}+18$$

-\frac{158}{15} માં 18 ઍડ કરો.

$$x=\frac{112}{15}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{112}{15},y=\frac{79}{15}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$0.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{0.5\times 0.2-1.6}&-\frac{1}{0.5\times 0.2-1.6}\\-\frac{1.6}{0.5\times 0.2-1.6}&\frac{0.5}{0.5\times 0.2-1.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15}&\frac{2}{3}\\\frac{16}{15}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15}\times 9+\frac{2}{3}\times 13\\\frac{16}{15}\times 9-\frac{1}{3}\times 13\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{112}{15}\\\frac{79}{15}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{112}{15},y=\frac{79}{15}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$0.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

\frac{x}{2} અને \frac{8x}{5} ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 1.6 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 0.5 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$1.6\times 0.5x+1.6y=1.6\times 9,0.5\times 1.6x+0.5\times 0.2y=0.5\times 13$$

સરળ બનાવો.

$$0.8x+1.6y=14.4,0.8x+0.1y=6.5$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 0.8x+1.6y=14.4માંથી 0.8x+0.1y=6.5 ને ઘટાડો.

$$0.8x-0.8x+1.6y-0.1y=14.4-6.5$$

-\frac{4x}{5} માં \frac{4x}{5} ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો \frac{4x}{5} અને -\frac{4x}{5} ને વિભાજિત કરો.

$$1.6y-0.1y=14.4-6.5$$

-\frac{y}{10} માં \frac{8y}{5} ઍડ કરો.

$$1.5y=14.4-6.5$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -6.5 માં 14.4 ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$1.5y=7.9$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો 1.5 થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=\frac{79}{15}$$

1.6x+0.2y=13માં y માટે \frac{79}{15} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$1.6x+0.2\times \frac{79}{15}=13$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને 0.2 નો \frac{79}{15} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$1.6x+\frac{79}{75}=13$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{79}{75} નો ઘટાડો કરો.

$$1.6x=\frac{896}{75}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો 1.6 થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$x=\frac{112}{15}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{112}{15},y=\frac{79}{15}$$