{l}{0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9}{0.041x_{2}-0.002x_{3}=0.117} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 0.041 x _ { 3 } + 0.16 x _ { 2 } = 0.9 } \\ { 0.041 x _ { 2 } - 0.002 x _ { 3 } = 0.117 } \end{array} \right.$$

x_3, x_2 માટે ઉકેલો

$$x_{3} = \frac{6060}{667} = 9\frac{57}{667} \approx 9.085457271$$

$$x_{2} = \frac{2199}{667} = 3\frac{198}{667} \approx 3.296851574$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9,-0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x_{3} ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x_{3} માટે ઉકેલો.

$$0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{4x_{2}}{25} નો ઘટાડો કરો.

$$0.041x_{3}=-0.16x_{2}+0.9$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો 0.041 થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$x_{3}=\frac{1000}{41}\left(-0.16x_{2}+0.9\right)$$

-\frac{4x_{2}}{25}+0.9 ને \frac{1000}{41} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x_{3}=-\frac{160}{41}x_{2}+\frac{900}{41}$$

અન્ય સમીકરણ, -0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117 માં x_{3} માટે \frac{-160x_{2}+900}{41} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-0.002\left(-\frac{160}{41}x_{2}+\frac{900}{41}\right)+0.041x_{2}=0.117$$

\frac{-160x_{2}+900}{41} ને -0.002 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{8}{1025}x_{2}-\frac{9}{205}+0.041x_{2}=0.117$$

\frac{41x_{2}}{1000} માં \frac{8x_{2}}{1025} ઍડ કરો.

$$\frac{2001}{41000}x_{2}-\frac{9}{205}=0.117$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{9}{205} ઍડ કરો.

$$\frac{2001}{41000}x_{2}=\frac{6597}{41000}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{2001}{41000} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$x_{2}=\frac{2199}{667}$$

x_{3}=-\frac{160}{41}x_{2}+\frac{900}{41}માં x_{2} માટે \frac{2199}{667} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x_{3} માટે ઉકેલો.

$$x_{3}=-\frac{160}{41}\times \frac{2199}{667}+\frac{900}{41}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{160}{41} નો \frac{2199}{667} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x_{3}=-\frac{351840}{27347}+\frac{900}{41}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{351840}{27347} માં \frac{900}{41} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x_{3}=\frac{6060}{667}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x_{3}=\frac{6060}{667},x_{2}=\frac{2199}{667}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9,-0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.041}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}&-\frac{0.16}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}\\-\frac{-0.002}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}&\frac{0.041}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41000}{2001}&-\frac{160000}{2001}\\\frac{2000}{2001}&\frac{41000}{2001}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41000}{2001}\times 0.9-\frac{160000}{2001}\times 0.117\\\frac{2000}{2001}\times 0.9+\frac{41000}{2001}\times 0.117\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6060}{667}\\\frac{2199}{667}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x_{3} અને x_{2} ને કાઢો.

$$x_{3}=\frac{6060}{667},x_{2}=\frac{2199}{667}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9,-0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117$$

\frac{41x_{3}}{1000} અને -\frac{x_{3}}{500} ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -0.002 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 0.041 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-0.002\times 0.041x_{3}-0.002\times 0.16x_{2}=-0.002\times 0.9,0.041\left(-0.002\right)x_{3}+0.041\times 0.041x_{2}=0.041\times 0.117$$

સરળ બનાવો.

$$-0.000082x_{3}-0.00032x_{2}=-0.0018,-0.000082x_{3}+0.001681x_{2}=0.004797$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -0.000082x_{3}-0.00032x_{2}=-0.0018માંથી -0.000082x_{3}+0.001681x_{2}=0.004797 ને ઘટાડો.

$$-0.000082x_{3}+0.000082x_{3}-0.00032x_{2}-0.001681x_{2}=-0.0018-0.004797$$

\frac{41x_{3}}{500000} માં -\frac{41x_{3}}{500000} ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -\frac{41x_{3}}{500000} અને \frac{41x_{3}}{500000} ને વિભાજિત કરો.

$$-0.00032x_{2}-0.001681x_{2}=-0.0018-0.004797$$

-\frac{1681x_{2}}{1000000} માં -\frac{x_{2}}{3125} ઍડ કરો.

$$-0.002001x_{2}=-0.0018-0.004797$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -0.004797 માં -0.0018 ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$-0.002001x_{2}=-0.006597$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -0.002001 થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$x_{2}=\frac{2199}{667}$$

-0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117માં x_{2} માટે \frac{2199}{667} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x_{3} માટે ઉકેલો.

$$-0.002x_{3}+0.041\times \frac{2199}{667}=0.117$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને 0.041 નો \frac{2199}{667} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$-0.002x_{3}+\frac{90159}{667000}=0.117$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{90159}{667000} નો ઘટાડો કરો.

$$-0.002x_{3}=-\frac{303}{16675}$$

બન્ને બાજુનો -500 દ્વારા ગુણાકાર કરો.

$$x_{3}=\frac{6060}{667}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x_{3}=\frac{6060}{667},x_{2}=\frac{2199}{667}$$