{l}{-x-5y=14}{-2x-7y=16} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 5 y = 14 } \\ { - 2 x - 7 y = 16 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=6$$

$$y=-4$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-x-5y=14,-2x-7y=16$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$-x-5y=14$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 5y ઍડ કરો.

$$-x=5y+14$$

બન્ને બાજુનો -1 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\left(5y+14\right)$$

5y+14 ને -1 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-5y-14$$

અન્ય સમીકરણ, -2x-7y=16 માં x માટે -5y-14 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-2\left(-5y-14\right)-7y=16$$

-5y-14 ને -2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$10y+28-7y=16$$

-7y માં 10y ઍડ કરો.

$$3y+28=16$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 28 નો ઘટાડો કરો.

$$3y=-12$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-4$$

x=-5y-14માં y માટે -4 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-5\left(-4\right)-14$$

-4 ને -5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=20-14$$

20 માં -14 ઍડ કરો.

$$x=6$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=6,y=-4$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$-x-5y=14,-2x-7y=16$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}-1&-5\\-2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-1&-5\\-2&-7\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-5\\-2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-\left(-7\right)-\left(-5\left(-2\right)\right)}&-\frac{-5}{-\left(-7\right)-\left(-5\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-\left(-7\right)-\left(-5\left(-2\right)\right)}&-\frac{1}{-\left(-7\right)-\left(-5\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}&-\frac{5}{3}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}\times 14-\frac{5}{3}\times 16\\-\frac{2}{3}\times 14+\frac{1}{3}\times 16\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-4\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=6,y=-4$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$-x-5y=14,-2x-7y=16$$

-x અને -2x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -2 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો -1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-2\left(-1\right)x-2\left(-5\right)y=-2\times 14,-\left(-2\right)x-\left(-7y\right)=-16$$

સરળ બનાવો.

$$2x+10y=-28,2x+7y=-16$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 2x+10y=-28માંથી 2x+7y=-16 ને ઘટાડો.

$$2x-2x+10y-7y=-28+16$$

-2x માં 2x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 2x અને -2x ને વિભાજિત કરો.

$$10y-7y=-28+16$$

-7y માં 10y ઍડ કરો.

$$3y=-28+16$$

16 માં -28 ઍડ કરો.

$$3y=-12$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-4$$

-2x-7y=16માં y માટે -4 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-2x-7\left(-4\right)=16$$

-4 ને -7 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-2x+28=16$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 28 નો ઘટાડો કરો.

$$-2x=-12$$

બન્ને બાજુનો -2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=6$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=6,y=-4$$