{l}{-x-2y=9}{3x-2y=21} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 2 y = 9 } \\ { 3 x - 2 y = 21 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=3$$

$$y=-6$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-x-2y=9,3x-2y=21$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$-x-2y=9$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 2y ઍડ કરો.

$$-x=2y+9$$

બન્ને બાજુનો -1 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\left(2y+9\right)$$

2y+9 ને -1 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-2y-9$$

અન્ય સમીકરણ, 3x-2y=21 માં x માટે -2y-9 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3\left(-2y-9\right)-2y=21$$

-2y-9 ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-6y-27-2y=21$$

-2y માં -6y ઍડ કરો.

$$-8y-27=21$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 27 ઍડ કરો.

$$-8y=48$$

બન્ને બાજુનો -8 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-6$$

x=-2y-9માં y માટે -6 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-2\left(-6\right)-9$$

-6 ને -2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=12-9$$

12 માં -9 ઍડ કરો.

$$x=3$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=3,y=-6$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$-x-2y=9,3x-2y=21$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ માટે \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), પ્રતિલોભ મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શક્યે છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{-\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{-\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{1}{-\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 9+\frac{1}{4}\times 21\\-\frac{3}{8}\times 9-\frac{1}{8}\times 21\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-6\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=3,y=-6$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$-x-2y=9,3x-2y=21$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -x-2y=9માંથી 3x-2y=21 ને ઘટાડો.

$$-x-3x-2y+2y=9-21$$

2y માં -2y ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -2y અને 2y ને વિભાજિત કરો.

$$-x-3x=9-21$$

-3x માં -x ઍડ કરો.

$$-4x=9-21$$

-21 માં 9 ઍડ કરો.

$$-4x=-12$$

બન્ને બાજુનો -4 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=3$$

3x-2y=21માં x માટે 3 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$3\times 3-2y=21$$

3 ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$9-2y=21$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 9 નો ઘટાડો કરો.

$$-2y=12$$

બન્ને બાજુનો -2 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-6$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=3,y=-6$$