{l}{-9x+6y=13}{cx+8y=-12} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x + 6 y = 13 } \\ { c x + 8 y = - 12 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)}$$

$$y=-\frac{108-13c}{6\left(c+12\right)}$$

$$c\neq -12$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-9x+6y=13,cx+8y=-12$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$-9x+6y=13$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 6y નો ઘટાડો કરો.

$$-9x=-6y+13$$

બન્ને બાજુનો -9 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{1}{9}\left(-6y+13\right)$$

-6y+13 ને -\frac{1}{9} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{2}{3}y-\frac{13}{9}$$

અન્ય સમીકરણ, cx+8y=-12 માં x માટે \frac{2y}{3}-\frac{13}{9} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$c\left(\frac{2}{3}y-\frac{13}{9}\right)+8y=-12$$

\frac{2y}{3}-\frac{13}{9} ને c વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{2c}{3}y-\frac{13c}{9}+8y=-12$$

8y માં \frac{2cy}{3} ઍડ કરો.

$$\left(\frac{2c}{3}+8\right)y-\frac{13c}{9}=-12$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{13c}{9} ઍડ કરો.

$$\left(\frac{2c}{3}+8\right)y=\frac{13c}{9}-12$$

બન્ને બાજુનો \frac{2c}{3}+8 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

x=\frac{2}{3}y-\frac{13}{9}માં y માટે \frac{-108+13c}{6\left(c+12\right)} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}-\frac{13}{9}$$

\frac{-108+13c}{6\left(c+12\right)} ને \frac{2}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{13c-108}{9\left(c+12\right)}-\frac{13}{9}$$

\frac{-108+13c}{9\left(c+12\right)} માં -\frac{13}{9} ઍડ કરો.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)},y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$-9x+6y=13,cx+8y=-12$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{-9\times 8-6c}&-\frac{6}{-9\times 8-6c}\\-\frac{c}{-9\times 8-6c}&-\frac{9}{-9\times 8-6c}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(c+12\right)}&\frac{1}{c+12}\\\frac{c}{6\left(c+12\right)}&\frac{3}{2\left(c+12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{4}{3\left(c+12\right)}\right)\times 13+\frac{1}{c+12}\left(-12\right)\\\frac{c}{6\left(c+12\right)}\times 13+\frac{3}{2\left(c+12\right)}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{88}{3\left(c+12\right)}\\\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)},y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$-9x+6y=13,cx+8y=-12$$

-9x અને cx ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો c સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો -9 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$c\left(-9\right)x+c\times 6y=c\times 13,-9cx-9\times 8y=-9\left(-12\right)$$

સરળ બનાવો.

$$\left(-9c\right)x+6cy=13c,\left(-9c\right)x-72y=108$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી \left(-9c\right)x+6cy=13cમાંથી \left(-9c\right)x-72y=108 ને ઘટાડો.

$$\left(-9c\right)x+9cx+6cy+72y=13c-108$$

9cx માં -9cx ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -9cx અને 9cx ને વિભાજિત કરો.

$$6cy+72y=13c-108$$

72y માં 6cy ઍડ કરો.

$$\left(6c+72\right)y=13c-108$$

બન્ને બાજુનો 72+6c થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

cx+8y=-12માં y માટે \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$cx+8\times \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}=-12$$

\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)} ને 8 વાર ગુણાકાર કરો.

$$cx+\frac{4\left(13c-108\right)}{3\left(c+12\right)}=-12$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{4\left(13c-108\right)}{3\left(c+12\right)} નો ઘટાડો કરો.

$$cx=-\frac{88c}{3\left(c+12\right)}$$

બન્ને બાજુનો c થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)},y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$