{l}{-7x+5y=10}{7x+10y=5} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { - 7 x + 5 y = 10 } \\ { 7 x + 10 y = 5 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-\frac{5}{7}\approx -0.714285714$$

$$y=1$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-7x+5y=10,7x+10y=5$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$-7x+5y=10$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 5y નો ઘટાડો કરો.

$$-7x=-5y+10$$

બન્ને બાજુનો -7 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{1}{7}\left(-5y+10\right)$$

-5y+10 ને -\frac{1}{7} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{5}{7}y-\frac{10}{7}$$

અન્ય સમીકરણ, 7x+10y=5 માં x માટે \frac{-10+5y}{7} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$7\left(\frac{5}{7}y-\frac{10}{7}\right)+10y=5$$

\frac{-10+5y}{7} ને 7 વાર ગુણાકાર કરો.

$$5y-10+10y=5$$

10y માં 5y ઍડ કરો.

$$15y-10=5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 10 ઍડ કરો.

$$15y=15$$

બન્ને બાજુનો 15 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=1$$

x=\frac{5}{7}y-\frac{10}{7}માં y માટે 1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{5-10}{7}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{5}{7} માં -\frac{10}{7} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{5}{7}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{5}{7},y=1$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$-7x+5y=10,7x+10y=5$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}-7&5\\7&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-7&5\\7&10\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&5\\7&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&5\\7&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&5\\7&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&5\\7&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&5\\7&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{-7\times 10-5\times 7}&-\frac{5}{-7\times 10-5\times 7}\\-\frac{7}{-7\times 10-5\times 7}&-\frac{7}{-7\times 10-5\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{21}&\frac{1}{21}\\\frac{1}{15}&\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{21}\times 10+\frac{1}{21}\times 5\\\frac{1}{15}\times 10+\frac{1}{15}\times 5\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{7}\\1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-\frac{5}{7},y=1$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$-7x+5y=10,7x+10y=5$$

-7x અને 7x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 7 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો -7 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$7\left(-7\right)x+7\times 5y=7\times 10,-7\times 7x-7\times 10y=-7\times 5$$

સરળ બનાવો.

$$-49x+35y=70,-49x-70y=-35$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -49x+35y=70માંથી -49x-70y=-35 ને ઘટાડો.

$$-49x+49x+35y+70y=70+35$$

49x માં -49x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -49x અને 49x ને વિભાજિત કરો.

$$35y+70y=70+35$$

70y માં 35y ઍડ કરો.

$$105y=70+35$$

35 માં 70 ઍડ કરો.

$$105y=105$$

બન્ને બાજુનો 105 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=1$$

7x+10y=5માં y માટે 1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$7x+10=5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 10 નો ઘટાડો કરો.

$$7x=-5$$

બન્ને બાજુનો 7 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{5}{7}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{5}{7},y=1$$