{l}{-5x-7y=-18}{7x+9y=18} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x - 7 y = - 18 } \\ { 7 x + 9 y = 18 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-9$$

$$y=9$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-5x-7y=-18,7x+9y=18$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$-5x-7y=-18$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 7y ઍડ કરો.

$$-5x=7y-18$$

બન્ને બાજુનો -5 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{1}{5}\left(7y-18\right)$$

7y-18 ને -\frac{1}{5} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{7}{5}y+\frac{18}{5}$$

અન્ય સમીકરણ, 7x+9y=18 માં x માટે \frac{-7y+18}{5} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$7\left(-\frac{7}{5}y+\frac{18}{5}\right)+9y=18$$

\frac{-7y+18}{5} ને 7 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{49}{5}y+\frac{126}{5}+9y=18$$

9y માં -\frac{49y}{5} ઍડ કરો.

$$-\frac{4}{5}y+\frac{126}{5}=18$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{126}{5} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{4}{5}y=-\frac{36}{5}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{4}{5} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=9$$

x=-\frac{7}{5}y+\frac{18}{5}માં y માટે 9 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{7}{5}\times 9+\frac{18}{5}$$

9 ને -\frac{7}{5} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-63+18}{5}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{63}{5} માં \frac{18}{5} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-9$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-9,y=9$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$-5x-7y=-18,7x+9y=18$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}-5&-7\\7&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\18\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-5&-7\\7&9\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&-7\\7&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&-7\\7&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-7\\7&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\18\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-7\\7&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\18\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-7\\7&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{-5\times 9-\left(-7\times 7\right)}&-\frac{-7}{-5\times 9-\left(-7\times 7\right)}\\-\frac{7}{-5\times 9-\left(-7\times 7\right)}&-\frac{5}{-5\times 9-\left(-7\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\18\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}&\frac{7}{4}\\-\frac{7}{4}&-\frac{5}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\18\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}\left(-18\right)+\frac{7}{4}\times 18\\-\frac{7}{4}\left(-18\right)-\frac{5}{4}\times 18\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\9\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-9,y=9$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$-5x-7y=-18,7x+9y=18$$

-5x અને 7x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 7 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો -5 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$7\left(-5\right)x+7\left(-7\right)y=7\left(-18\right),-5\times 7x-5\times 9y=-5\times 18$$

સરળ બનાવો.

$$-35x-49y=-126,-35x-45y=-90$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -35x-49y=-126માંથી -35x-45y=-90 ને ઘટાડો.

$$-35x+35x-49y+45y=-126+90$$

35x માં -35x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -35x અને 35x ને વિભાજિત કરો.

$$-49y+45y=-126+90$$

45y માં -49y ઍડ કરો.

$$-4y=-126+90$$

90 માં -126 ઍડ કરો.

$$-4y=-36$$

બન્ને બાજુનો -4 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=9$$

7x+9y=18માં y માટે 9 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$7x+9\times 9=18$$

9 ને 9 વાર ગુણાકાર કરો.

$$7x+81=18$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 81 નો ઘટાડો કરો.

$$7x=-63$$

બન્ને બાજુનો 7 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-9$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-9,y=9$$