{l}{-5x+3y=11}{x-2y=2} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x + 3 y = 11 } \\ { x - 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-4$$

$$y=-3$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-5x+3y=11,x-2y=2$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$-5x+3y=11$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 3y નો ઘટાડો કરો.

$$-5x=-3y+11$$

બન્ને બાજુનો -5 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-3y+11\right)$$

-3y+11 ને -\frac{1}{5} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{3}{5}y-\frac{11}{5}$$

અન્ય સમીકરણ, x-2y=2 માં x માટે \frac{3y-11}{5} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$\frac{3}{5}y-\frac{11}{5}-2y=2$$

-2y માં \frac{3y}{5} ઍડ કરો.

$$-\frac{7}{5}y-\frac{11}{5}=2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{11}{5} ઍડ કરો.

$$-\frac{7}{5}y=\frac{21}{5}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{7}{5} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=-3$$

x=\frac{3}{5}y-\frac{11}{5}માં y માટે -3 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{3}{5}\left(-3\right)-\frac{11}{5}$$

-3 ને \frac{3}{5} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-9-11}{5}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{9}{5} માં -\frac{11}{5} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-4$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-4,y=-3$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$-5x+3y=11,x-2y=2$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}-5&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-5&3\\1&-2\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\2\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-5\left(-2\right)-3}&-\frac{3}{-5\left(-2\right)-3}\\-\frac{1}{-5\left(-2\right)-3}&-\frac{5}{-5\left(-2\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\2\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\times 11-\frac{3}{7}\times 2\\-\frac{1}{7}\times 11-\frac{5}{7}\times 2\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-3\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-4,y=-3$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$-5x+3y=11,x-2y=2$$

-5x અને x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો -5 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-5x+3y=11,-5x-5\left(-2\right)y=-5\times 2$$

સરળ બનાવો.

$$-5x+3y=11,-5x+10y=-10$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -5x+3y=11માંથી -5x+10y=-10 ને ઘટાડો.

$$-5x+5x+3y-10y=11+10$$

5x માં -5x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -5x અને 5x ને વિભાજિત કરો.

$$3y-10y=11+10$$

-10y માં 3y ઍડ કરો.

$$-7y=11+10$$

10 માં 11 ઍડ કરો.

$$-7y=21$$

બન્ને બાજુનો -7 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-3$$

x-2y=2માં y માટે -3 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x-2\left(-3\right)=2$$

-3 ને -2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x+6=2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 6 નો ઘટાડો કરો.

$$x=-4$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-4,y=-3$$