{l}{-5x+2y=9}{3x+5y=7} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x + 2 y = 9 } \\ { 3 x + 5 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-1$$

$$y=2$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-5x+2y=9,3x+5y=7$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$-5x+2y=9$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 2y નો ઘટાડો કરો.

$$-5x=-2y+9$$

બન્ને બાજુનો -5 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-2y+9\right)$$

-2y+9 ને -\frac{1}{5} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{2}{5}y-\frac{9}{5}$$

અન્ય સમીકરણ, 3x+5y=7 માં x માટે \frac{2y-9}{5} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3\left(\frac{2}{5}y-\frac{9}{5}\right)+5y=7$$

\frac{2y-9}{5} ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{6}{5}y-\frac{27}{5}+5y=7$$

5y માં \frac{6y}{5} ઍડ કરો.

$$\frac{31}{5}y-\frac{27}{5}=7$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{27}{5} ઍડ કરો.

$$\frac{31}{5}y=\frac{62}{5}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{31}{5} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=2$$

x=\frac{2}{5}y-\frac{9}{5}માં y માટે 2 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{2}{5}\times 2-\frac{9}{5}$$

2 ને \frac{2}{5} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{4-9}{5}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{4}{5} માં -\frac{9}{5} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-1,y=2$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$-5x+2y=9,3x+5y=7$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}-5&2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-5&2\\3&5\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-5\times 5-2\times 3}&-\frac{2}{-5\times 5-2\times 3}\\-\frac{3}{-5\times 5-2\times 3}&-\frac{5}{-5\times 5-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{31}&\frac{2}{31}\\\frac{3}{31}&\frac{5}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{31}\times 9+\frac{2}{31}\times 7\\\frac{3}{31}\times 9+\frac{5}{31}\times 7\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-1,y=2$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$-5x+2y=9,3x+5y=7$$

-5x અને 3x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો -5 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$3\left(-5\right)x+3\times 2y=3\times 9,-5\times 3x-5\times 5y=-5\times 7$$

સરળ બનાવો.

$$-15x+6y=27,-15x-25y=-35$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -15x+6y=27માંથી -15x-25y=-35 ને ઘટાડો.

$$-15x+15x+6y+25y=27+35$$

15x માં -15x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -15x અને 15x ને વિભાજિત કરો.

$$6y+25y=27+35$$

25y માં 6y ઍડ કરો.

$$31y=27+35$$

35 માં 27 ઍડ કરો.

$$31y=62$$

બન્ને બાજુનો 31 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=2$$

3x+5y=7માં y માટે 2 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$3x+5\times 2=7$$

2 ને 5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$3x+10=7$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 10 નો ઘટાડો કરો.

$$3x=-3$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-1,y=2$$