{l}{-5x+13y=-7}{5x+4y=24} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x + 13 y = - 7 } \\ { 5 x + 4 y = 24 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=4$$

$$y=1$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-5x+13y=-7,5x+4y=24$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$-5x+13y=-7$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 13y નો ઘટાડો કરો.

$$-5x=-13y-7$$

બન્ને બાજુનો -5 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-13y-7\right)$$

-13y-7 ને -\frac{1}{5} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{13}{5}y+\frac{7}{5}$$

અન્ય સમીકરણ, 5x+4y=24 માં x માટે \frac{13y+7}{5} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$5\left(\frac{13}{5}y+\frac{7}{5}\right)+4y=24$$

\frac{13y+7}{5} ને 5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$13y+7+4y=24$$

4y માં 13y ઍડ કરો.

$$17y+7=24$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 7 નો ઘટાડો કરો.

$$17y=17$$

બન્ને બાજુનો 17 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=1$$

x=\frac{13}{5}y+\frac{7}{5}માં y માટે 1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{13+7}{5}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{13}{5} માં \frac{7}{5} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=4$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=4,y=1$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$-5x+13y=-7,5x+4y=24$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\24\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\24\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\24\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-5\times 4-13\times 5}&-\frac{13}{-5\times 4-13\times 5}\\-\frac{5}{-5\times 4-13\times 5}&-\frac{5}{-5\times 4-13\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\24\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{85}&\frac{13}{85}\\\frac{1}{17}&\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\24\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{85}\left(-7\right)+\frac{13}{85}\times 24\\\frac{1}{17}\left(-7\right)+\frac{1}{17}\times 24\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=4,y=1$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$-5x+13y=-7,5x+4y=24$$

-5x અને 5x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 5 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો -5 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$5\left(-5\right)x+5\times 13y=5\left(-7\right),-5\times 5x-5\times 4y=-5\times 24$$

સરળ બનાવો.

$$-25x+65y=-35,-25x-20y=-120$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -25x+65y=-35માંથી -25x-20y=-120 ને ઘટાડો.

$$-25x+25x+65y+20y=-35+120$$

25x માં -25x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -25x અને 25x ને વિભાજિત કરો.

$$65y+20y=-35+120$$

20y માં 65y ઍડ કરો.

$$85y=-35+120$$

120 માં -35 ઍડ કરો.

$$85y=85$$

બન્ને બાજુનો 85 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=1$$

5x+4y=24માં y માટે 1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$5x+4=24$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 4 નો ઘટાડો કરો.

$$5x=20$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=4$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=4,y=1$$