{l}{-5*(x-y)+3y=2x}{2y-(6x+7)=-2} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 \cdot ( x - y ) + 3 y = 2 x } \\ { 2 y - ( 6 x + 7 ) = - 2 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = -\frac{20}{17} = -1\frac{3}{17} \approx -1.176470588$$

$$y = -\frac{35}{34} = -1\frac{1}{34} \approx -1.029411765$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. -5 સાથે x-y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$-5x+5y+3y=2x$$

8y ને મેળવવા માટે 5y અને 3y ને એકસાથે કરો.

$$-5x+8y=2x$$

બન્ને બાજુથી 2x ઘટાડો.

$$-5x+8y-2x=0$$

-7x ને મેળવવા માટે -5x અને -2x ને એકસાથે કરો.

$$-7x+8y=0$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 6x+7 નો વિરૂદ્ધ શોધવા માટે, પ્રત્યેક શબ્દનો વિરુદ્ધ શબ્દ શોધો.

$$2y-6x-7=-2$$

બંને સાઇડ્સ માટે 7 ઍડ કરો.

$$2y-6x=-2+7$$

5મેળવવા માટે -2 અને 7 ને ઍડ કરો.

$$2y-6x=5$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-7x+8y=0,-6x+2y=5$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$-7x+8y=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 8y નો ઘટાડો કરો.

$$-7x=-8y$$

બન્ને બાજુનો -7 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{1}{7}\left(-8\right)y$$

-8y ને -\frac{1}{7} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{8}{7}y$$

અન્ય સમીકરણ, -6x+2y=5 માં x માટે \frac{8y}{7} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-6\times \frac{8}{7}y+2y=5$$

\frac{8y}{7} ને -6 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{48}{7}y+2y=5$$

2y માં -\frac{48y}{7} ઍડ કરો.

$$-\frac{34}{7}y=5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{34}{7} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=-\frac{35}{34}$$

x=\frac{8}{7}yમાં y માટે -\frac{35}{34} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{8}{7}\left(-\frac{35}{34}\right)$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને \frac{8}{7} નો -\frac{35}{34} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{20}{17}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{20}{17},y=-\frac{35}{34}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. -5 સાથે x-y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$-5x+5y+3y=2x$$

8y ને મેળવવા માટે 5y અને 3y ને એકસાથે કરો.

$$-5x+8y=2x$$

બન્ને બાજુથી 2x ઘટાડો.

$$-5x+8y-2x=0$$

-7x ને મેળવવા માટે -5x અને -2x ને એકસાથે કરો.

$$-7x+8y=0$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 6x+7 નો વિરૂદ્ધ શોધવા માટે, પ્રત્યેક શબ્દનો વિરુદ્ધ શબ્દ શોધો.

$$2y-6x-7=-2$$

બંને સાઇડ્સ માટે 7 ઍડ કરો.

$$2y-6x=-2+7$$

5મેળવવા માટે -2 અને 7 ને ઍડ કરો.

$$2y-6x=5$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$-7x+8y=0,-6x+2y=5$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-7\times 2-8\left(-6\right)}&-\frac{8}{-7\times 2-8\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{-7\times 2-8\left(-6\right)}&-\frac{7}{-7\times 2-8\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&-\frac{4}{17}\\\frac{3}{17}&-\frac{7}{34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{17}\times 5\\-\frac{7}{34}\times 5\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{17}\\-\frac{35}{34}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-\frac{20}{17},y=-\frac{35}{34}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. -5 સાથે x-y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$-5x+5y+3y=2x$$

8y ને મેળવવા માટે 5y અને 3y ને એકસાથે કરો.

$$-5x+8y=2x$$

બન્ને બાજુથી 2x ઘટાડો.

$$-5x+8y-2x=0$$

-7x ને મેળવવા માટે -5x અને -2x ને એકસાથે કરો.

$$-7x+8y=0$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 6x+7 નો વિરૂદ્ધ શોધવા માટે, પ્રત્યેક શબ્દનો વિરુદ્ધ શબ્દ શોધો.

$$2y-6x-7=-2$$

બંને સાઇડ્સ માટે 7 ઍડ કરો.

$$2y-6x=-2+7$$

5મેળવવા માટે -2 અને 7 ને ઍડ કરો.

$$2y-6x=5$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$-7x+8y=0,-6x+2y=5$$

-7x અને -6x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -6 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો -7 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-6\left(-7\right)x-6\times 8y=0,-7\left(-6\right)x-7\times 2y=-7\times 5$$

સરળ બનાવો.

$$42x-48y=0,42x-14y=-35$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 42x-48y=0માંથી 42x-14y=-35 ને ઘટાડો.

$$42x-42x-48y+14y=35$$

-42x માં 42x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 42x અને -42x ને વિભાજિત કરો.

$$-48y+14y=35$$

14y માં -48y ઍડ કરો.

$$-34y=35$$

બન્ને બાજુનો -34 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{35}{34}$$

-6x+2y=5માં y માટે -\frac{35}{34} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-6x+2\left(-\frac{35}{34}\right)=5$$

-\frac{35}{34} ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-6x-\frac{35}{17}=5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{35}{17} ઍડ કરો.

$$-6x=\frac{120}{17}$$

બન્ને બાજુનો -6 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{20}{17}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{20}{17},y=-\frac{35}{34}$$