{l}{-3x-y=2x-1}{-3(2x+5y)=x+y-30} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x - y = 2 x - 1 } \\ { - 3 ( 2 x + 5 y ) = x + y - 30 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-\frac{14}{73}\approx -0.191780822$$

$$y = \frac{143}{73} = 1\frac{70}{73} \approx 1.95890411$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 2x ઘટાડો.

$$-3x-y-2x=-1$$

-5x ને મેળવવા માટે -3x અને -2x ને એકસાથે કરો.

$$-5x-y=-1$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. -3 સાથે 2x+5y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$-6x-15y=x+y-30$$

બન્ને બાજુથી x ઘટાડો.

$$-6x-15y-x=y-30$$

-7x ને મેળવવા માટે -6x અને -x ને એકસાથે કરો.

$$-7x-15y=y-30$$

બન્ને બાજુથી y ઘટાડો.

$$-7x-15y-y=-30$$

-16y ને મેળવવા માટે -15y અને -y ને એકસાથે કરો.

$$-7x-16y=-30$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-5x-y=-1,-7x-16y=-30$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$-5x-y=-1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ y ઍડ કરો.

$$-5x=y-1$$

બન્ને બાજુનો -5 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{1}{5}\left(y-1\right)$$

y-1 ને -\frac{1}{5} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{1}{5}$$

અન્ય સમીકરણ, -7x-16y=-30 માં x માટે \frac{-y+1}{5} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-7\left(-\frac{1}{5}y+\frac{1}{5}\right)-16y=-30$$

\frac{-y+1}{5} ને -7 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{7}{5}y-\frac{7}{5}-16y=-30$$

-16y માં \frac{7y}{5} ઍડ કરો.

$$-\frac{73}{5}y-\frac{7}{5}=-30$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{7}{5} ઍડ કરો.

$$-\frac{73}{5}y=-\frac{143}{5}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{73}{5} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=\frac{143}{73}$$

x=-\frac{1}{5}y+\frac{1}{5}માં y માટે \frac{143}{73} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{1}{5}\times \frac{143}{73}+\frac{1}{5}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{1}{5} નો \frac{143}{73} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{143}{365}+\frac{1}{5}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{143}{365} માં \frac{1}{5} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{14}{73}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{14}{73},y=\frac{143}{73}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 2x ઘટાડો.

$$-3x-y-2x=-1$$

-5x ને મેળવવા માટે -3x અને -2x ને એકસાથે કરો.

$$-5x-y=-1$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. -3 સાથે 2x+5y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$-6x-15y=x+y-30$$

બન્ને બાજુથી x ઘટાડો.

$$-6x-15y-x=y-30$$

-7x ને મેળવવા માટે -6x અને -x ને એકસાથે કરો.

$$-7x-15y=y-30$$

બન્ને બાજુથી y ઘટાડો.

$$-7x-15y-y=-30$$

-16y ને મેળવવા માટે -15y અને -y ને એકસાથે કરો.

$$-7x-16y=-30$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$-5x-y=-1,-7x-16y=-30$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}&-\frac{-1}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}&-\frac{5}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{73}&\frac{1}{73}\\\frac{7}{73}&-\frac{5}{73}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{73}\left(-1\right)+\frac{1}{73}\left(-30\right)\\\frac{7}{73}\left(-1\right)-\frac{5}{73}\left(-30\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{14}{73}\\\frac{143}{73}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-\frac{14}{73},y=\frac{143}{73}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 2x ઘટાડો.

$$-3x-y-2x=-1$$

-5x ને મેળવવા માટે -3x અને -2x ને એકસાથે કરો.

$$-5x-y=-1$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. -3 સાથે 2x+5y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$-6x-15y=x+y-30$$

બન્ને બાજુથી x ઘટાડો.

$$-6x-15y-x=y-30$$

-7x ને મેળવવા માટે -6x અને -x ને એકસાથે કરો.

$$-7x-15y=y-30$$

બન્ને બાજુથી y ઘટાડો.

$$-7x-15y-y=-30$$

-16y ને મેળવવા માટે -15y અને -y ને એકસાથે કરો.

$$-7x-16y=-30$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$-5x-y=-1,-7x-16y=-30$$

-5x અને -7x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -7 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો -5 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-7\left(-5\right)x-7\left(-1\right)y=-7\left(-1\right),-5\left(-7\right)x-5\left(-16\right)y=-5\left(-30\right)$$

સરળ બનાવો.

$$35x+7y=7,35x+80y=150$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 35x+7y=7માંથી 35x+80y=150 ને ઘટાડો.

$$35x-35x+7y-80y=7-150$$

-35x માં 35x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 35x અને -35x ને વિભાજિત કરો.

$$7y-80y=7-150$$

-80y માં 7y ઍડ કરો.

$$-73y=7-150$$

-150 માં 7 ઍડ કરો.

$$-73y=-143$$

બન્ને બાજુનો -73 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{143}{73}$$

-7x-16y=-30માં y માટે \frac{143}{73} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-7x-16\times \frac{143}{73}=-30$$

\frac{143}{73} ને -16 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-7x-\frac{2288}{73}=-30$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{2288}{73} ઍડ કરો.

$$-7x=\frac{98}{73}$$

બન્ને બાજુનો -7 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{14}{73}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{14}{73},y=\frac{143}{73}$$