{l}{-3x+y=10}{-2x+4y=0} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + y = 10 } \\ { - 2 x + 4 y = 0 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-4$$

$$y=-2$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-3x+y=10,-2x+4y=0$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$-3x+y=10$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી y નો ઘટાડો કરો.

$$-3x=-y+10$$

બન્ને બાજુનો -3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-y+10\right)$$

-y+10 ને -\frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{10}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, -2x+4y=0 માં x માટે \frac{-10+y}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-2\left(\frac{1}{3}y-\frac{10}{3}\right)+4y=0$$

\frac{-10+y}{3} ને -2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{20}{3}+4y=0$$

4y માં -\frac{2y}{3} ઍડ કરો.

$$\frac{10}{3}y+\frac{20}{3}=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{20}{3} નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{10}{3}y=-\frac{20}{3}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{10}{3} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=-2$$

x=\frac{1}{3}y-\frac{10}{3}માં y માટે -2 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2\right)-\frac{10}{3}$$

-2 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-2-10}{3}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{2}{3} માં -\frac{10}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-4$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-4,y=-2$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$-3x+y=10,-2x+4y=0$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}-3&1\\-2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-3&1\\-2&4\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&1\\-2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-3\times 4-\left(-2\right)}&-\frac{1}{-3\times 4-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-3\times 4-\left(-2\right)}&-\frac{3}{-3\times 4-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{1}{10}\\-\frac{1}{5}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 10\\-\frac{1}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-4,y=-2$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$-3x+y=10,-2x+4y=0$$

-3x અને -2x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -2 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો -3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-2\left(-3\right)x-2y=-2\times 10,-3\left(-2\right)x-3\times 4y=0$$

સરળ બનાવો.

$$6x-2y=-20,6x-12y=0$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 6x-2y=-20માંથી 6x-12y=0 ને ઘટાડો.

$$6x-6x-2y+12y=-20$$

-6x માં 6x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 6x અને -6x ને વિભાજિત કરો.

$$-2y+12y=-20$$

12y માં -2y ઍડ કરો.

$$10y=-20$$

બન્ને બાજુનો 10 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-2$$

-2x+4y=0માં y માટે -2 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-2x+4\left(-2\right)=0$$

-2 ને 4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-2x-8=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 8 ઍડ કરો.

$$-2x=8$$

બન્ને બાજુનો -2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-4$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-4,y=-2$$