{l}{-2x-9y=20}{-5x-2y=9} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x - 9 y = 20 } \\ { - 5 x - 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-1$$

$$y=-2$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-2x-9y=20,-5x-2y=9$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$-2x-9y=20$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 9y ઍડ કરો.

$$-2x=9y+20$$

બન્ને બાજુનો -2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{1}{2}\left(9y+20\right)$$

9y+20 ને -\frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{9}{2}y-10$$

અન્ય સમીકરણ, -5x-2y=9 માં x માટે -\frac{9y}{2}-10 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-5\left(-\frac{9}{2}y-10\right)-2y=9$$

-\frac{9y}{2}-10 ને -5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{45}{2}y+50-2y=9$$

-2y માં \frac{45y}{2} ઍડ કરો.

$$\frac{41}{2}y+50=9$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 50 નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{41}{2}y=-41$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{41}{2} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=-2$$

x=-\frac{9}{2}y-10માં y માટે -2 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{9}{2}\left(-2\right)-10$$

-2 ને -\frac{9}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=9-10$$

9 માં -10 ઍડ કરો.

$$x=-1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-1,y=-2$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$-2x-9y=20,-5x-2y=9$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}-2&-9\\-5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-2&-9\\-5&-2\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-9\\-5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-9\\-5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-9\\-5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\9\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-9\\-5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\9\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-9\\-5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2\left(-2\right)-\left(-9\left(-5\right)\right)}&-\frac{-9}{-2\left(-2\right)-\left(-9\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{-2\left(-2\right)-\left(-9\left(-5\right)\right)}&-\frac{2}{-2\left(-2\right)-\left(-9\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\9\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{41}&-\frac{9}{41}\\-\frac{5}{41}&\frac{2}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\9\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{41}\times 20-\frac{9}{41}\times 9\\-\frac{5}{41}\times 20+\frac{2}{41}\times 9\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-1,y=-2$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$-2x-9y=20,-5x-2y=9$$

-2x અને -5x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -5 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો -2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-5\left(-2\right)x-5\left(-9\right)y=-5\times 20,-2\left(-5\right)x-2\left(-2\right)y=-2\times 9$$

સરળ બનાવો.

$$10x+45y=-100,10x+4y=-18$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 10x+45y=-100માંથી 10x+4y=-18 ને ઘટાડો.

$$10x-10x+45y-4y=-100+18$$

-10x માં 10x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 10x અને -10x ને વિભાજિત કરો.

$$45y-4y=-100+18$$

-4y માં 45y ઍડ કરો.

$$41y=-100+18$$

18 માં -100 ઍડ કરો.

$$41y=-82$$

બન્ને બાજુનો 41 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-2$$

-5x-2y=9માં y માટે -2 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-5x-2\left(-2\right)=9$$

-2 ને -2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-5x+4=9$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 4 નો ઘટાડો કરો.

$$-5x=5$$

બન્ને બાજુનો -5 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-1,y=-2$$