{l}{-15A+3B=21}{-15B-3A=-14} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { - 15 A + 3 B = 21 } \\ { - 15 B - 3 A = - 14 } \end{array} \right.$$

A, B માટે ઉકેલો

$$A = -\frac{7}{6} = -1\frac{1}{6} \approx -1.166666667$$

$$B = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} \approx 1.166666667$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-15A+3B=21,-3A-15B=-14$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને A ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને A માટે ઉકેલો.

$$-15A+3B=21$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 3B નો ઘટાડો કરો.

$$-15A=-3B+21$$

બન્ને બાજુનો -15 થી ભાગાકાર કરો.

$$A=-\frac{1}{15}\left(-3B+21\right)$$

-3B+21 ને -\frac{1}{15} વાર ગુણાકાર કરો.

$$A=\frac{1}{5}B-\frac{7}{5}$$

અન્ય સમીકરણ, -3A-15B=-14 માં A માટે \frac{-7+B}{5} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-3\left(\frac{1}{5}B-\frac{7}{5}\right)-15B=-14$$

\frac{-7+B}{5} ને -3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{3}{5}B+\frac{21}{5}-15B=-14$$

-15B માં -\frac{3B}{5} ઍડ કરો.

$$-\frac{78}{5}B+\frac{21}{5}=-14$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{21}{5} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{78}{5}B=-\frac{91}{5}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{78}{5} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$B=\frac{7}{6}$$

A=\frac{1}{5}B-\frac{7}{5}માં B માટે \frac{7}{6} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું A માટે ઉકેલો.

$$A=\frac{1}{5}\times \frac{7}{6}-\frac{7}{5}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને \frac{1}{5} નો \frac{7}{6} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$A=\frac{7}{30}-\frac{7}{5}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{7}{30} માં -\frac{7}{5} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$A=-\frac{7}{6}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$A=-\frac{7}{6},B=\frac{7}{6}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$-15A+3B=21,-3A-15B=-14$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}&-\frac{15}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}&-\frac{1}{78}\\\frac{1}{78}&-\frac{5}{78}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}\times 21-\frac{1}{78}\left(-14\right)\\\frac{1}{78}\times 21-\frac{5}{78}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}\\\frac{7}{6}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો A અને B ને કાઢો.

$$A=-\frac{7}{6},B=\frac{7}{6}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$-15A+3B=21,-3A-15B=-14$$

-15A અને -3A ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -3 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો -15 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-3\left(-15\right)A-3\times 3B=-3\times 21,-15\left(-3\right)A-15\left(-15\right)B=-15\left(-14\right)$$

સરળ બનાવો.

$$45A-9B=-63,45A+225B=210$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 45A-9B=-63માંથી 45A+225B=210 ને ઘટાડો.

$$45A-45A-9B-225B=-63-210$$

-45A માં 45A ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 45A અને -45A ને વિભાજિત કરો.

$$-9B-225B=-63-210$$

-225B માં -9B ઍડ કરો.

$$-234B=-63-210$$

-210 માં -63 ઍડ કરો.

$$-234B=-273$$

બન્ને બાજુનો -234 થી ભાગાકાર કરો.

$$B=\frac{7}{6}$$

-3A-15B=-14માં B માટે \frac{7}{6} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું A માટે ઉકેલો.

$$-3A-15\times \frac{7}{6}=-14$$

\frac{7}{6} ને -15 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-3A-\frac{35}{2}=-14$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{35}{2} ઍડ કરો.

$$-3A=\frac{7}{2}$$

બન્ને બાજુનો -3 થી ભાગાકાર કરો.

$$A=-\frac{7}{6}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$A=-\frac{7}{6},B=\frac{7}{6}$$