{l}{-10x-7y=-5}{7x+5y=4} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 x - 7 y = - 5 } \\ { 7 x + 5 y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-3$$

$$y=5$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-10x-7y=-5,7x+5y=4$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$-10x-7y=-5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 7y ઍડ કરો.

$$-10x=7y-5$$

બન્ને બાજુનો -10 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{1}{10}\left(7y-5\right)$$

7y-5 ને -\frac{1}{10} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{7}{10}y+\frac{1}{2}$$

અન્ય સમીકરણ, 7x+5y=4 માં x માટે -\frac{7y}{10}+\frac{1}{2} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$7\left(-\frac{7}{10}y+\frac{1}{2}\right)+5y=4$$

-\frac{7y}{10}+\frac{1}{2} ને 7 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{49}{10}y+\frac{7}{2}+5y=4$$

5y માં -\frac{49y}{10} ઍડ કરો.

$$\frac{1}{10}y+\frac{7}{2}=4$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{7}{2} નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{1}{10}y=\frac{1}{2}$$

બન્ને બાજુનો 10 દ્વારા ગુણાકાર કરો.

$$y=5$$

x=-\frac{7}{10}y+\frac{1}{2}માં y માટે 5 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{7}{10}\times 5+\frac{1}{2}$$

5 ને -\frac{7}{10} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-7+1}{2}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{7}{2} માં \frac{1}{2} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-3$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-3,y=5$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$-10x-7y=-5,7x+5y=4$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-10\times 5-\left(-7\times 7\right)}&-\frac{-7}{-10\times 5-\left(-7\times 7\right)}\\-\frac{7}{-10\times 5-\left(-7\times 7\right)}&-\frac{10}{-10\times 5-\left(-7\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5&-7\\7&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\left(-5\right)-7\times 4\\7\left(-5\right)+10\times 4\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-3,y=5$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$-10x-7y=-5,7x+5y=4$$

-10x અને 7x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 7 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો -10 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$7\left(-10\right)x+7\left(-7\right)y=7\left(-5\right),-10\times 7x-10\times 5y=-10\times 4$$

સરળ બનાવો.

$$-70x-49y=-35,-70x-50y=-40$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -70x-49y=-35માંથી -70x-50y=-40 ને ઘટાડો.

$$-70x+70x-49y+50y=-35+40$$

70x માં -70x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -70x અને 70x ને વિભાજિત કરો.

$$-49y+50y=-35+40$$

50y માં -49y ઍડ કરો.

$$y=-35+40$$

40 માં -35 ઍડ કરો.

$$y=5$$

7x+5y=4માં y માટે 5 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$7x+5\times 5=4$$

5 ને 5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$7x+25=4$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 25 નો ઘટાડો કરો.

$$7x=-21$$

બન્ને બાજુનો 7 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-3$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-3,y=5$$