{l}{-0.5x+0.1y=350}{0.4x+0.2y=0}{text{Thesolutionis}} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { - 0.5 x + 0.1 y = 350 } \\ { 0.4 x + 0.2 y = 0 } \\ { \text { The solution is } } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-500$$

$$y=1000$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-0.5x+0.1y=350,0.4x+0.2y=0$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$-0.5x+0.1y=350$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{y}{10} નો ઘટાડો કરો.

$$-0.5x=-0.1y+350$$

બન્ને બાજુનો -2 દ્વારા ગુણાકાર કરો.

$$x=-2\left(-0.1y+350\right)$$

-\frac{y}{10}+350 ને -2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=0.2y-700$$

અન્ય સમીકરણ, 0.4x+0.2y=0 માં x માટે \frac{y}{5}-700 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$0.4\left(0.2y-700\right)+0.2y=0$$

\frac{y}{5}-700 ને 0.4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$0.08y-280+0.2y=0$$

\frac{y}{5} માં \frac{2y}{25} ઍડ કરો.

$$0.28y-280=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 280 ઍડ કરો.

$$0.28y=280$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો 0.28 થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=1000$$

x=0.2y-700માં y માટે 1000 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=0.2\times 1000-700$$

1000 ને 0.2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=200-700$$

200 માં -700 ઍડ કરો.

$$x=-500$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-500,y=1000$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$-0.5x+0.1y=350,0.4x+0.2y=0$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}&-\frac{0.1}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}\\-\frac{0.4}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}&-\frac{0.5}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{20}{7}&\frac{25}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{7}\times 350\\\frac{20}{7}\times 350\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-500\\1000\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-500,y=1000$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$-0.5x+0.1y=350,0.4x+0.2y=0$$

-\frac{x}{2} અને \frac{2x}{5} ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 0.4 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો -0.5 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$0.4\left(-0.5\right)x+0.4\times 0.1y=0.4\times 350,-0.5\times 0.4x-0.5\times 0.2y=0$$

સરળ બનાવો.

$$-0.2x+0.04y=140,-0.2x-0.1y=0$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -0.2x+0.04y=140માંથી -0.2x-0.1y=0 ને ઘટાડો.

$$-0.2x+0.2x+0.04y+0.1y=140$$

\frac{x}{5} માં -\frac{x}{5} ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -\frac{x}{5} અને \frac{x}{5} ને વિભાજિત કરો.

$$0.04y+0.1y=140$$

\frac{y}{10} માં \frac{y}{25} ઍડ કરો.

$$0.14y=140$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો 0.14 થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=1000$$

0.4x+0.2y=0માં y માટે 1000 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$0.4x+0.2\times 1000=0$$

1000 ને 0.2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$0.4x+200=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 200 નો ઘટાડો કરો.

$$0.4x=-200$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો 0.4 થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$x=-500$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-500,y=1000$$