{l}{-2.3/5x_{1}+x_{2}=1.0001}{-frac{x_{1}}{2}+x_{2}=1} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { - \frac { 2.3 } { 5 } x _ { 1 } + x _ { 2 } = 1.0001 } \\ { - \frac { x _ { 1 } } { 2 } + x _ { 2 } = 1 } \end{array} \right.$$

x_1, x_2 માટે ઉકેલો

$$x_{1}=0.0025$$

$$x_{2}=1.00125$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. અંશ અને છેદ બંનેનો 10 દ્વારા ગુણાકાર કરીને \frac{2.3}{5} ને વિસ્તૃત કરો.

$$-\frac{23}{50}x_{1}+x_{2}=1.0001$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-x_{1}+2x_{2}=2$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-\frac{23}{50}x_{1}+x_{2}=1.0001,-x_{1}+2x_{2}=2$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x_{1} ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x_{1} માટે ઉકેલો.

$$-\frac{23}{50}x_{1}+x_{2}=1.0001$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી x_{2} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{23}{50}x_{1}=-x_{2}+1.0001$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{23}{50} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$x_{1}=-\frac{50}{23}\left(-x_{2}+1.0001\right)$$

-x_{2}+1.0001 ને -\frac{50}{23} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x_{1}=\frac{50}{23}x_{2}-\frac{10001}{4600}$$

અન્ય સમીકરણ, -x_{1}+2x_{2}=2 માં x_{1} માટે \frac{50x_{2}}{23}-\frac{10001}{4600} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-\left(\frac{50}{23}x_{2}-\frac{10001}{4600}\right)+2x_{2}=2$$

\frac{50x_{2}}{23}-\frac{10001}{4600} ને -1 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{50}{23}x_{2}+\frac{10001}{4600}+2x_{2}=2$$

2x_{2} માં -\frac{50x_{2}}{23} ઍડ કરો.

$$-\frac{4}{23}x_{2}+\frac{10001}{4600}=2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{10001}{4600} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{4}{23}x_{2}=-\frac{801}{4600}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{4}{23} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$x_{2}=\frac{801}{800}$$

x_{1}=\frac{50}{23}x_{2}-\frac{10001}{4600}માં x_{2} માટે \frac{801}{800} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x_{1} માટે ઉકેલો.

$$x_{1}=\frac{50}{23}\times \frac{801}{800}-\frac{10001}{4600}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને \frac{50}{23} નો \frac{801}{800} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x_{1}=\frac{801}{368}-\frac{10001}{4600}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{801}{368} માં -\frac{10001}{4600} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x_{1}=\frac{1}{400}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x_{1}=\frac{1}{400},x_{2}=\frac{801}{800}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. અંશ અને છેદ બંનેનો 10 દ્વારા ગુણાકાર કરીને \frac{2.3}{5} ને વિસ્તૃત કરો.

$$-\frac{23}{50}x_{1}+x_{2}=1.0001$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-x_{1}+2x_{2}=2$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$-\frac{23}{50}x_{1}+x_{2}=1.0001,-x_{1}+2x_{2}=2$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}-\frac{23}{50}&1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1.0001\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-\frac{23}{50}&1\\-1&2\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-\frac{23}{50}&1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{23}{50}&1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-\frac{23}{50}&1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.0001\\2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-\frac{23}{50}&1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.0001\\2\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-\frac{23}{50}&1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.0001\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-\frac{23}{50}\times 2-\left(-1\right)}&-\frac{1}{-\frac{23}{50}\times 2-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{-\frac{23}{50}\times 2-\left(-1\right)}&-\frac{\frac{23}{50}}{-\frac{23}{50}\times 2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1.0001\\2\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25&-\frac{25}{2}\\\frac{25}{2}&-\frac{23}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1.0001\\2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\times 1.0001-\frac{25}{2}\times 2\\\frac{25}{2}\times 1.0001-\frac{23}{4}\times 2\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.0025\\\frac{801}{800}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x_{1} અને x_{2} ને કાઢો.

$$x_{1}=0.0025,x_{2}=\frac{801}{800}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. અંશ અને છેદ બંનેનો 10 દ્વારા ગુણાકાર કરીને \frac{2.3}{5} ને વિસ્તૃત કરો.

$$-\frac{23}{50}x_{1}+x_{2}=1.0001$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-x_{1}+2x_{2}=2$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$-\frac{23}{50}x_{1}+x_{2}=1.0001,-x_{1}+2x_{2}=2$$

-\frac{23x_{1}}{50} અને -x_{1} ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -1 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો -\frac{23}{50} સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-\left(-\frac{23}{50}\right)x_{1}-x_{2}=-1.0001,-\frac{23}{50}\left(-1\right)x_{1}-\frac{23}{50}\times 2x_{2}=-\frac{23}{50}\times 2$$

સરળ બનાવો.

$$\frac{23}{50}x_{1}-x_{2}=-1.0001,\frac{23}{50}x_{1}-\frac{23}{25}x_{2}=-\frac{23}{25}$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી \frac{23}{50}x_{1}-x_{2}=-1.0001માંથી \frac{23}{50}x_{1}-\frac{23}{25}x_{2}=-\frac{23}{25} ને ઘટાડો.

$$\frac{23}{50}x_{1}-\frac{23}{50}x_{1}-x_{2}+\frac{23}{25}x_{2}=-1.0001+\frac{23}{25}$$

-\frac{23x_{1}}{50} માં \frac{23x_{1}}{50} ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો \frac{23x_{1}}{50} અને -\frac{23x_{1}}{50} ને વિભાજિત કરો.

$$-x_{2}+\frac{23}{25}x_{2}=-1.0001+\frac{23}{25}$$

\frac{23x_{2}}{25} માં -x_{2} ઍડ કરો.

$$-\frac{2}{25}x_{2}=-1.0001+\frac{23}{25}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{23}{25} માં -1.0001 ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$-\frac{2}{25}x_{2}=-\frac{801}{10000}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{2}{25} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$x_{2}=\frac{801}{800}$$

-x_{1}+2x_{2}=2માં x_{2} માટે \frac{801}{800} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x_{1} માટે ઉકેલો.

$$-x_{1}+2\times \frac{801}{800}=2$$

\frac{801}{800} ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-x_{1}+\frac{801}{400}=2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{801}{400} નો ઘટાડો કરો.

$$-x_{1}=-\frac{1}{400}$$

બન્ને બાજુનો -1 થી ભાગાકાર કરો.

$$x_{1}=\frac{1}{400}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x_{1}=\frac{1}{400},x_{2}=\frac{801}{800}$$