{l}{(x-2)(y+5)=(x-1)(y+2)}{(y-3)(x+4)=(x+7)(y-4)} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { ( x - 2 ) ( y + 5 ) = ( x - 1 ) ( y + 2 ) } \\ { ( y - 3 ) ( x + 4 ) = ( x + 7 ) ( y - 4 ) } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=5$$

$$y=7$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. x-2 સાથે y+5 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$xy+5x-2y-10=\left(x-1\right)\left(y+2\right)$$

x-1 સાથે y+2 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$xy+5x-2y-10=xy+2x-y-2$$

બન્ને બાજુથી xy ઘટાડો.

$$xy+5x-2y-10-xy=2x-y-2$$

0 ને મેળવવા માટે xy અને -xy ને એકસાથે કરો.

$$5x-2y-10=2x-y-2$$

બન્ને બાજુથી 2x ઘટાડો.

$$5x-2y-10-2x=-y-2$$

3x ને મેળવવા માટે 5x અને -2x ને એકસાથે કરો.

$$3x-2y-10=-y-2$$

બંને સાઇડ્સ માટે y ઍડ કરો.

$$3x-2y-10+y=-2$$

-y ને મેળવવા માટે -2y અને y ને એકસાથે કરો.

$$3x-y-10=-2$$

બંને સાઇડ્સ માટે 10 ઍડ કરો.

$$3x-y=-2+10$$

8મેળવવા માટે -2 અને 10 ને ઍડ કરો.

$$3x-y=8$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. y-3 સાથે x+4 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$yx+4y-3x-12=\left(x+7\right)\left(y-4\right)$$

x+7 સાથે y-4 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$yx+4y-3x-12=xy-4x+7y-28$$

બન્ને બાજુથી xy ઘટાડો.

$$yx+4y-3x-12-xy=-4x+7y-28$$

0 ને મેળવવા માટે yx અને -xy ને એકસાથે કરો.

$$4y-3x-12=-4x+7y-28$$

બંને સાઇડ્સ માટે 4x ઍડ કરો.

$$4y-3x-12+4x=7y-28$$

x ને મેળવવા માટે -3x અને 4x ને એકસાથે કરો.

$$4y+x-12=7y-28$$

બન્ને બાજુથી 7y ઘટાડો.

$$4y+x-12-7y=-28$$

-3y ને મેળવવા માટે 4y અને -7y ને એકસાથે કરો.

$$-3y+x-12=-28$$

બંને સાઇડ્સ માટે 12 ઍડ કરો.

$$-3y+x=-28+12$$

-16મેળવવા માટે -28 અને 12 ને ઍડ કરો.

$$-3y+x=-16$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3x-y=8,x-3y=-16$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$3x-y=8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ y ઍડ કરો.

$$3x=y+8$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+8\right)$$

y+8 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, x-3y=-16 માં x માટે \frac{8+y}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}-3y=-16$$

-3y માં \frac{y}{3} ઍડ કરો.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{8}{3}=-16$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{8}{3} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{8}{3}y=-\frac{56}{3}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{8}{3} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=7$$

x=\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}માં y માટે 7 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{1}{3}\times 7+\frac{8}{3}$$

7 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{7+8}{3}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{7}{3} માં \frac{8}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=5$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=5,y=7$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. x-2 સાથે y+5 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$xy+5x-2y-10=\left(x-1\right)\left(y+2\right)$$

x-1 સાથે y+2 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$xy+5x-2y-10=xy+2x-y-2$$

બન્ને બાજુથી xy ઘટાડો.

$$xy+5x-2y-10-xy=2x-y-2$$

0 ને મેળવવા માટે xy અને -xy ને એકસાથે કરો.

$$5x-2y-10=2x-y-2$$

બન્ને બાજુથી 2x ઘટાડો.

$$5x-2y-10-2x=-y-2$$

3x ને મેળવવા માટે 5x અને -2x ને એકસાથે કરો.

$$3x-2y-10=-y-2$$

બંને સાઇડ્સ માટે y ઍડ કરો.

$$3x-2y-10+y=-2$$

-y ને મેળવવા માટે -2y અને y ને એકસાથે કરો.

$$3x-y-10=-2$$

બંને સાઇડ્સ માટે 10 ઍડ કરો.

$$3x-y=-2+10$$

8મેળવવા માટે -2 અને 10 ને ઍડ કરો.

$$3x-y=8$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. y-3 સાથે x+4 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$yx+4y-3x-12=\left(x+7\right)\left(y-4\right)$$

x+7 સાથે y-4 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$yx+4y-3x-12=xy-4x+7y-28$$

બન્ને બાજુથી xy ઘટાડો.

$$yx+4y-3x-12-xy=-4x+7y-28$$

0 ને મેળવવા માટે yx અને -xy ને એકસાથે કરો.

$$4y-3x-12=-4x+7y-28$$

બંને સાઇડ્સ માટે 4x ઍડ કરો.

$$4y-3x-12+4x=7y-28$$

x ને મેળવવા માટે -3x અને 4x ને એકસાથે કરો.

$$4y+x-12=7y-28$$

બન્ને બાજુથી 7y ઘટાડો.

$$4y+x-12-7y=-28$$

-3y ને મેળવવા માટે 4y અને -7y ને એકસાથે કરો.

$$-3y+x-12=-28$$

બંને સાઇડ્સ માટે 12 ઍડ કરો.

$$-3y+x=-28+12$$

-16મેળવવા માટે -28 અને 12 ને ઍડ કરો.

$$-3y+x=-16$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-y=8,x-3y=-16$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\\\frac{1}{8}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 8-\frac{1}{8}\left(-16\right)\\\frac{1}{8}\times 8-\frac{3}{8}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=5,y=7$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. x-2 સાથે y+5 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$xy+5x-2y-10=\left(x-1\right)\left(y+2\right)$$

x-1 સાથે y+2 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$xy+5x-2y-10=xy+2x-y-2$$

બન્ને બાજુથી xy ઘટાડો.

$$xy+5x-2y-10-xy=2x-y-2$$

0 ને મેળવવા માટે xy અને -xy ને એકસાથે કરો.

$$5x-2y-10=2x-y-2$$

બન્ને બાજુથી 2x ઘટાડો.

$$5x-2y-10-2x=-y-2$$

3x ને મેળવવા માટે 5x અને -2x ને એકસાથે કરો.

$$3x-2y-10=-y-2$$

બંને સાઇડ્સ માટે y ઍડ કરો.

$$3x-2y-10+y=-2$$

-y ને મેળવવા માટે -2y અને y ને એકસાથે કરો.

$$3x-y-10=-2$$

બંને સાઇડ્સ માટે 10 ઍડ કરો.

$$3x-y=-2+10$$

8મેળવવા માટે -2 અને 10 ને ઍડ કરો.

$$3x-y=8$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. y-3 સાથે x+4 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$yx+4y-3x-12=\left(x+7\right)\left(y-4\right)$$

x+7 સાથે y-4 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$yx+4y-3x-12=xy-4x+7y-28$$

બન્ને બાજુથી xy ઘટાડો.

$$yx+4y-3x-12-xy=-4x+7y-28$$

0 ને મેળવવા માટે yx અને -xy ને એકસાથે કરો.

$$4y-3x-12=-4x+7y-28$$

બંને સાઇડ્સ માટે 4x ઍડ કરો.

$$4y-3x-12+4x=7y-28$$

x ને મેળવવા માટે -3x અને 4x ને એકસાથે કરો.

$$4y+x-12=7y-28$$

બન્ને બાજુથી 7y ઘટાડો.

$$4y+x-12-7y=-28$$

-3y ને મેળવવા માટે 4y અને -7y ને એકસાથે કરો.

$$-3y+x-12=-28$$

બંને સાઇડ્સ માટે 12 ઍડ કરો.

$$-3y+x=-28+12$$

-16મેળવવા માટે -28 અને 12 ને ઍડ કરો.

$$-3y+x=-16$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$3x-y=8,x-3y=-16$$

3x અને x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$3x-y=8,3x+3\left(-3\right)y=3\left(-16\right)$$

સરળ બનાવો.

$$3x-y=8,3x-9y=-48$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 3x-y=8માંથી 3x-9y=-48 ને ઘટાડો.

$$3x-3x-y+9y=8+48$$

-3x માં 3x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 3x અને -3x ને વિભાજિત કરો.

$$-y+9y=8+48$$

9y માં -y ઍડ કરો.

$$8y=8+48$$

48 માં 8 ઍડ કરો.

$$8y=56$$

બન્ને બાજુનો 8 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=7$$

x-3y=-16માં y માટે 7 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x-3\times 7=-16$$

7 ને -3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x-21=-16$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 21 ઍડ કરો.

$$x=5$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=5,y=7$$