{l}{y+2z/3=4}{5y/6+7z/3=8} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { y + 2 z } { 3 } = 4 } \\ { \frac { 5 y } { 6 } + \frac { 7 z } { 3 } = 8 } \end{array} \right.$$

y, z માટે ઉકેલો

$$y=18$$

$$z=-3$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુનો 3 દ્વારા ગુણાકાર કરો.

$$y+2z=4\times 3$$

12 મેળવવા માટે 4 સાથે 3 નો ગુણાકાર કરો.

$$y+2z=12$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 6 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 6,3 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$5y+2\times 7z=48$$

14 મેળવવા માટે 2 સાથે 7 નો ગુણાકાર કરો.

$$5y+14z=48$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને y ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને y માટે ઉકેલો.

$$y+2z=12$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 2z નો ઘટાડો કરો.

$$y=-2z+12$$

અન્ય સમીકરણ, 5y+14z=48 માં y માટે -2z+12 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$5\left(-2z+12\right)+14z=48$$

-2z+12 ને 5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-10z+60+14z=48$$

14z માં -10z ઍડ કરો.

$$4z+60=48$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 60 નો ઘટાડો કરો.

$$4z=-12$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$z=-3$$

y=-2z+12માં z માટે -3 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$y=-2\left(-3\right)+12$$

-3 ને -2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=6+12$$

6 માં 12 ઍડ કરો.

$$y=18$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=18,z=-3$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુનો 3 દ્વારા ગુણાકાર કરો.

$$y+2z=4\times 3$$

12 મેળવવા માટે 4 સાથે 3 નો ગુણાકાર કરો.

$$y+2z=12$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 6 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 6,3 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$5y+2\times 7z=48$$

14 મેળવવા માટે 2 સાથે 7 નો ગુણાકાર કરો.

$$5y+14z=48$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{14-2\times 5}&-\frac{2}{14-2\times 5}\\-\frac{5}{14-2\times 5}&\frac{1}{14-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{5}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\times 12-\frac{1}{2}\times 48\\-\frac{5}{4}\times 12+\frac{1}{4}\times 48\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\-3\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો y અને z ને કાઢો.

$$y=18,z=-3$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુનો 3 દ્વારા ગુણાકાર કરો.

$$y+2z=4\times 3$$

12 મેળવવા માટે 4 સાથે 3 નો ગુણાકાર કરો.

$$y+2z=12$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 6 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 6,3 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$5y+2\times 7z=48$$

14 મેળવવા માટે 2 સાથે 7 નો ગુણાકાર કરો.

$$5y+14z=48$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

y અને 5y ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 5 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$5y+5\times 2z=5\times 12,5y+14z=48$$

સરળ બનાવો.

$$5y+10z=60,5y+14z=48$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 5y+10z=60માંથી 5y+14z=48 ને ઘટાડો.

$$5y-5y+10z-14z=60-48$$

-5y માં 5y ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 5y અને -5y ને વિભાજિત કરો.

$$10z-14z=60-48$$

-14z માં 10z ઍડ કરો.

$$-4z=60-48$$

-48 માં 60 ઍડ કરો.

$$-4z=12$$

બન્ને બાજુનો -4 થી ભાગાકાર કરો.

$$z=-3$$

5y+14z=48માં z માટે -3 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$5y+14\left(-3\right)=48$$

-3 ને 14 વાર ગુણાકાર કરો.

$$5y-42=48$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 42 ઍડ કરો.

$$5y=90$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=18$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=18,z=-3$$