{l}{y+1/3x-4=1/2}{5x+y/3x+11=1} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { y + 1 } { 3 x - 4 } = \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 5 x + y } { 3 x + 11 } = 1 } \end{array} \right.$$

y, x માટે ઉકેલો

$$x=4$$

$$y=3$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. શૂન્ય દ્વારા ભાગાકાર કરવું તે વ્યાખ્યાયિત ન હોવાથી, ચલ x એ \frac{4}{3} ની સમાન હોઈ શકે નહીં. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 2\left(3x-4\right) દ્વારા ગુણાકાર કરો, 3x-4,2 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

2 સાથે y+1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$2y+2=3x-4$$

બન્ને બાજુથી 3x ઘટાડો.

$$2y+2-3x=-4$$

બન્ને બાજુથી 2 ઘટાડો.

$$2y-3x=-4-2$$

-6 મેળવવા માટે -4 માંથી 2 ને ઘટાડો.

$$2y-3x=-6$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. શૂન્ય દ્વારા ભાગાકાર કરવું તે વ્યાખ્યાયિત ન હોવાથી, ચલ x એ -\frac{11}{3} ની સમાન હોઈ શકે નહીં. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 3x+11 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$5x+y=3x+11$$

બન્ને બાજુથી 3x ઘટાડો.

$$5x+y-3x=11$$

2x ને મેળવવા માટે 5x અને -3x ને એકસાથે કરો.

$$2x+y=11$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને y ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને y માટે ઉકેલો.

$$2y-3x=-6$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 3x ઍડ કરો.

$$2y=3x-6$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-6\right)$$

-6+3x ને \frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{3}{2}x-3$$

અન્ય સમીકરણ, y+2x=11 માં y માટે \frac{3x}{2}-3 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$\frac{3}{2}x-3+2x=11$$

2x માં \frac{3x}{2} ઍડ કરો.

$$\frac{7}{2}x-3=11$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 3 ઍડ કરો.

$$\frac{7}{2}x=14$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{7}{2} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$x=4$$

y=\frac{3}{2}x-3માં x માટે 4 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$y=\frac{3}{2}\times 4-3$$

4 ને \frac{3}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=6-3$$

6 માં -3 ઍડ કરો.

$$y=3$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=3,x=4$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. શૂન્ય દ્વારા ભાગાકાર કરવું તે વ્યાખ્યાયિત ન હોવાથી, ચલ x એ \frac{4}{3} ની સમાન હોઈ શકે નહીં. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 2\left(3x-4\right) દ્વારા ગુણાકાર કરો, 3x-4,2 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

2 સાથે y+1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$2y+2=3x-4$$

બન્ને બાજુથી 3x ઘટાડો.

$$2y+2-3x=-4$$

બન્ને બાજુથી 2 ઘટાડો.

$$2y-3x=-4-2$$

-6 મેળવવા માટે -4 માંથી 2 ને ઘટાડો.

$$2y-3x=-6$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. શૂન્ય દ્વારા ભાગાકાર કરવું તે વ્યાખ્યાયિત ન હોવાથી, ચલ x એ -\frac{11}{3} ની સમાન હોઈ શકે નહીં. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 3x+11 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$5x+y=3x+11$$

બન્ને બાજુથી 3x ઘટાડો.

$$5x+y-3x=11$$

2x ને મેળવવા માટે 5x અને -3x ને એકસાથે કરો.

$$2x+y=11$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ માટે \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), પ્રતિલોભ મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શક્યે છે.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2\times 2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\left(-6\right)+\frac{3}{7}\times 11\\-\frac{1}{7}\left(-6\right)+\frac{2}{7}\times 11\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો y અને x ને કાઢો.

$$y=3,x=4$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. શૂન્ય દ્વારા ભાગાકાર કરવું તે વ્યાખ્યાયિત ન હોવાથી, ચલ x એ \frac{4}{3} ની સમાન હોઈ શકે નહીં. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 2\left(3x-4\right) દ્વારા ગુણાકાર કરો, 3x-4,2 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

2 સાથે y+1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$2y+2=3x-4$$

બન્ને બાજુથી 3x ઘટાડો.

$$2y+2-3x=-4$$

બન્ને બાજુથી 2 ઘટાડો.

$$2y-3x=-4-2$$

-6 મેળવવા માટે -4 માંથી 2 ને ઘટાડો.

$$2y-3x=-6$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. શૂન્ય દ્વારા ભાગાકાર કરવું તે વ્યાખ્યાયિત ન હોવાથી, ચલ x એ -\frac{11}{3} ની સમાન હોઈ શકે નહીં. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 3x+11 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$5x+y=3x+11$$

બન્ને બાજુથી 3x ઘટાડો.

$$5x+y-3x=11$$

2x ને મેળવવા માટે 5x અને -3x ને એકસાથે કરો.

$$2x+y=11$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

2y અને y ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$2y-3x=-6,2y+2\times 2x=2\times 11$$

સરળ બનાવો.

$$2y-3x=-6,2y+4x=22$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 2y-3x=-6માંથી 2y+4x=22 ને ઘટાડો.

$$2y-2y-3x-4x=-6-22$$

-2y માં 2y ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 2y અને -2y ને વિભાજિત કરો.

$$-3x-4x=-6-22$$

-4x માં -3x ઍડ કરો.

$$-7x=-6-22$$

-22 માં -6 ઍડ કરો.

$$-7x=-28$$

બન્ને બાજુનો -7 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=4$$

y+2x=11માં x માટે 4 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$y+2\times 4=11$$

4 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y+8=11$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 8 નો ઘટાડો કરો.

$$y=3$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=3,x=4$$