{l}{x-3/y+2=2/3}{y-2/x+1=2/3} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x - 3 } { y + 2 } = \frac { 2 } { 3 } } \\ { \frac { y - 2 } { x + 1 } = \frac { 2 } { 3 } } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=11$$

$$y=10$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. શૂન્ય દ્વારા ભાગાકાર કરવું તે વ્યાખ્યાયિત ન હોવાથી, ચલ y એ -2 ની સમાન હોઈ શકે નહીં. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 3\left(y+2\right) દ્વારા ગુણાકાર કરો, y+2,3 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$3\left(x-3\right)=2\left(y+2\right)$$

3 સાથે x-3 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-9=2\left(y+2\right)$$

2 સાથે y+2 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-9=2y+4$$

બન્ને બાજુથી 2y ઘટાડો.

$$3x-9-2y=4$$

બંને સાઇડ્સ માટે 9 ઍડ કરો.

$$3x-2y=4+9$$

13મેળવવા માટે 4 અને 9 ને ઍડ કરો.

$$3x-2y=13$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. શૂન્ય દ્વારા ભાગાકાર કરવું તે વ્યાખ્યાયિત ન હોવાથી, ચલ x એ -1 ની સમાન હોઈ શકે નહીં. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 3\left(x+1\right) દ્વારા ગુણાકાર કરો, x+1,3 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$3\left(y-2\right)=2\left(x+1\right)$$

3 સાથે y-2 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3y-6=2\left(x+1\right)$$

2 સાથે x+1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3y-6=2x+2$$

બન્ને બાજુથી 2x ઘટાડો.

$$3y-6-2x=2$$

બંને સાઇડ્સ માટે 6 ઍડ કરો.

$$3y-2x=2+6$$

8મેળવવા માટે 2 અને 6 ને ઍડ કરો.

$$3y-2x=8$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3x-2y=13,-2x+3y=8$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$3x-2y=13$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 2y ઍડ કરો.

$$3x=2y+13$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+13\right)$$

2y+13 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{13}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, -2x+3y=8 માં x માટે \frac{2y+13}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-2\left(\frac{2}{3}y+\frac{13}{3}\right)+3y=8$$

\frac{2y+13}{3} ને -2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{4}{3}y-\frac{26}{3}+3y=8$$

3y માં -\frac{4y}{3} ઍડ કરો.

$$\frac{5}{3}y-\frac{26}{3}=8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{26}{3} ઍડ કરો.

$$\frac{5}{3}y=\frac{50}{3}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{5}{3} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=10$$

x=\frac{2}{3}y+\frac{13}{3}માં y માટે 10 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{2}{3}\times 10+\frac{13}{3}$$

10 ને \frac{2}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{20+13}{3}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{20}{3} માં \frac{13}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=11$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=11,y=10$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. શૂન્ય દ્વારા ભાગાકાર કરવું તે વ્યાખ્યાયિત ન હોવાથી, ચલ y એ -2 ની સમાન હોઈ શકે નહીં. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 3\left(y+2\right) દ્વારા ગુણાકાર કરો, y+2,3 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$3\left(x-3\right)=2\left(y+2\right)$$

3 સાથે x-3 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-9=2\left(y+2\right)$$

2 સાથે y+2 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-9=2y+4$$

બન્ને બાજુથી 2y ઘટાડો.

$$3x-9-2y=4$$

બંને સાઇડ્સ માટે 9 ઍડ કરો.

$$3x-2y=4+9$$

13મેળવવા માટે 4 અને 9 ને ઍડ કરો.

$$3x-2y=13$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. શૂન્ય દ્વારા ભાગાકાર કરવું તે વ્યાખ્યાયિત ન હોવાથી, ચલ x એ -1 ની સમાન હોઈ શકે નહીં. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 3\left(x+1\right) દ્વારા ગુણાકાર કરો, x+1,3 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$3\left(y-2\right)=2\left(x+1\right)$$

3 સાથે y-2 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3y-6=2\left(x+1\right)$$

2 સાથે x+1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3y-6=2x+2$$

બન્ને બાજુથી 2x ઘટાડો.

$$3y-6-2x=2$$

બંને સાઇડ્સ માટે 6 ઍડ કરો.

$$3y-2x=2+6$$

8મેળવવા માટે 2 અને 6 ને ઍડ કરો.

$$3y-2x=8$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-2y=13,-2x+3y=8$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-2\\-2&3\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\8\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\8\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 3-\left(-2\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3\times 3-\left(-2\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-2\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\8\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\8\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 13+\frac{2}{5}\times 8\\\frac{2}{5}\times 13+\frac{3}{5}\times 8\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\10\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=11,y=10$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. શૂન્ય દ્વારા ભાગાકાર કરવું તે વ્યાખ્યાયિત ન હોવાથી, ચલ y એ -2 ની સમાન હોઈ શકે નહીં. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 3\left(y+2\right) દ્વારા ગુણાકાર કરો, y+2,3 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$3\left(x-3\right)=2\left(y+2\right)$$

3 સાથે x-3 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-9=2\left(y+2\right)$$

2 સાથે y+2 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-9=2y+4$$

બન્ને બાજુથી 2y ઘટાડો.

$$3x-9-2y=4$$

બંને સાઇડ્સ માટે 9 ઍડ કરો.

$$3x-2y=4+9$$

13મેળવવા માટે 4 અને 9 ને ઍડ કરો.

$$3x-2y=13$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. શૂન્ય દ્વારા ભાગાકાર કરવું તે વ્યાખ્યાયિત ન હોવાથી, ચલ x એ -1 ની સમાન હોઈ શકે નહીં. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 3\left(x+1\right) દ્વારા ગુણાકાર કરો, x+1,3 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$3\left(y-2\right)=2\left(x+1\right)$$

3 સાથે y-2 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3y-6=2\left(x+1\right)$$

2 સાથે x+1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3y-6=2x+2$$

બન્ને બાજુથી 2x ઘટાડો.

$$3y-6-2x=2$$

બંને સાઇડ્સ માટે 6 ઍડ કરો.

$$3y-2x=2+6$$

8મેળવવા માટે 2 અને 6 ને ઍડ કરો.

$$3y-2x=8$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$3x-2y=13,-2x+3y=8$$

3x અને -2x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -2 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-2\times 3x-2\left(-2\right)y=-2\times 13,3\left(-2\right)x+3\times 3y=3\times 8$$

સરળ બનાવો.

$$-6x+4y=-26,-6x+9y=24$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -6x+4y=-26માંથી -6x+9y=24 ને ઘટાડો.

$$-6x+6x+4y-9y=-26-24$$

6x માં -6x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -6x અને 6x ને વિભાજિત કરો.

$$4y-9y=-26-24$$

-9y માં 4y ઍડ કરો.

$$-5y=-26-24$$

-24 માં -26 ઍડ કરો.

$$-5y=-50$$

બન્ને બાજુનો -5 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=10$$

-2x+3y=8માં y માટે 10 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-2x+3\times 10=8$$

10 ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-2x+30=8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 30 નો ઘટાડો કરો.

$$-2x=-22$$

બન્ને બાજુનો -2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=11$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=11,y=10$$