{l}{x/5-2=y/10}{5x+45=-7y} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 5 } - 2 = \frac { y } { 10 } } \\ { 5 x + 45 = - 7 y } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=5$$

$$y=-10$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 10 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 5,10 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$2x-20=y$$

બન્ને બાજુથી y ઘટાડો.

$$2x-20-y=0$$

બંને સાઇડ્સ માટે 20 ઍડ કરો. કંઈપણ વત્તા શૂન્ય સ્વયંને આપે છે.

$$2x-y=20$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બંને સાઇડ્સ માટે 7y ઍડ કરો.

$$5x+45+7y=0$$

બન્ને બાજુથી 45 ઘટાડો. કંઈપણને શૂન્યમાંથી બાદ કરવાથી તેનું નકારાત્મક આપે છે.

$$5x+7y=-45$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$2x-y=20$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ y ઍડ કરો.

$$2x=y+20$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+20\right)$$

y+20 ને \frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{2}y+10$$

અન્ય સમીકરણ, 5x+7y=-45 માં x માટે \frac{y}{2}+10 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$5\left(\frac{1}{2}y+10\right)+7y=-45$$

\frac{y}{2}+10 ને 5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{5}{2}y+50+7y=-45$$

7y માં \frac{5y}{2} ઍડ કરો.

$$\frac{19}{2}y+50=-45$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 50 નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{19}{2}y=-95$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{19}{2} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=-10$$

x=\frac{1}{2}y+10માં y માટે -10 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{1}{2}\left(-10\right)+10$$

-10 ને \frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-5+10$$

-5 માં 10 ઍડ કરો.

$$x=5$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=5,y=-10$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 10 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 5,10 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$2x-20=y$$

બન્ને બાજુથી y ઘટાડો.

$$2x-20-y=0$$

બંને સાઇડ્સ માટે 20 ઍડ કરો. કંઈપણ વત્તા શૂન્ય સ્વયંને આપે છે.

$$2x-y=20$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બંને સાઇડ્સ માટે 7y ઍડ કરો.

$$5x+45+7y=0$$

બન્ને બાજુથી 45 ઘટાડો. કંઈપણને શૂન્યમાંથી બાદ કરવાથી તેનું નકારાત્મક આપે છે.

$$5x+7y=-45$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{2\times 7-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{2\times 7-\left(-5\right)}&\frac{2}{2\times 7-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{19}&\frac{1}{19}\\-\frac{5}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{19}\times 20+\frac{1}{19}\left(-45\right)\\-\frac{5}{19}\times 20+\frac{2}{19}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-10\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=5,y=-10$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 10 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 5,10 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$2x-20=y$$

બન્ને બાજુથી y ઘટાડો.

$$2x-20-y=0$$

બંને સાઇડ્સ માટે 20 ઍડ કરો. કંઈપણ વત્તા શૂન્ય સ્વયંને આપે છે.

$$2x-y=20$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બંને સાઇડ્સ માટે 7y ઍડ કરો.

$$5x+45+7y=0$$

બન્ને બાજુથી 45 ઘટાડો. કંઈપણને શૂન્યમાંથી બાદ કરવાથી તેનું નકારાત્મક આપે છે.

$$5x+7y=-45$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

2x અને 5x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 5 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$5\times 2x+5\left(-1\right)y=5\times 20,2\times 5x+2\times 7y=2\left(-45\right)$$

સરળ બનાવો.

$$10x-5y=100,10x+14y=-90$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 10x-5y=100માંથી 10x+14y=-90 ને ઘટાડો.

$$10x-10x-5y-14y=100+90$$

-10x માં 10x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 10x અને -10x ને વિભાજિત કરો.

$$-5y-14y=100+90$$

-14y માં -5y ઍડ કરો.

$$-19y=100+90$$

90 માં 100 ઍડ કરો.

$$-19y=190$$

બન્ને બાજુનો -19 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-10$$

5x+7y=-45માં y માટે -10 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$5x+7\left(-10\right)=-45$$

-10 ને 7 વાર ગુણાકાર કરો.

$$5x-70=-45$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 70 ઍડ કરો.

$$5x=25$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=5$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=5,y=-10$$