{l}{x/3+y/5=7}{x/6-2y/5=-4} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 5 } = 7 } \\ { \frac { x } { 6 } - \frac { 2 y } { 5 } = - 4 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=12$$

$$y=15$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 15 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 3,5 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$5x+3y=105$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 30 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 6,5 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$5x-6\times 2y=-120$$

-12 મેળવવા માટે -6 સાથે 2 નો ગુણાકાર કરો.

$$5x-12y=-120$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$5x+3y=105$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 3y નો ઘટાડો કરો.

$$5x=-3y+105$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+105\right)$$

-3y+105 ને \frac{1}{5} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{3}{5}y+21$$

અન્ય સમીકરણ, 5x-12y=-120 માં x માટે -\frac{3y}{5}+21 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$5\left(-\frac{3}{5}y+21\right)-12y=-120$$

-\frac{3y}{5}+21 ને 5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-3y+105-12y=-120$$

-12y માં -3y ઍડ કરો.

$$-15y+105=-120$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 105 નો ઘટાડો કરો.

$$-15y=-225$$

બન્ને બાજુનો -15 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=15$$

x=-\frac{3}{5}y+21માં y માટે 15 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{3}{5}\times 15+21$$

15 ને -\frac{3}{5} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-9+21$$

-9 માં 21 ઍડ કરો.

$$x=12$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=12,y=15$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 15 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 3,5 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$5x+3y=105$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 30 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 6,5 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$5x-6\times 2y=-120$$

-12 મેળવવા માટે -6 સાથે 2 નો ગુણાકાર કરો.

$$5x-12y=-120$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{5\left(-12\right)-3\times 5}&-\frac{3}{5\left(-12\right)-3\times 5}\\-\frac{5}{5\left(-12\right)-3\times 5}&\frac{5}{5\left(-12\right)-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&\frac{1}{25}\\\frac{1}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 105+\frac{1}{25}\left(-120\right)\\\frac{1}{15}\times 105-\frac{1}{15}\left(-120\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\15\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=12,y=15$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 15 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 3,5 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$5x+3y=105$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 30 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 6,5 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$5x-6\times 2y=-120$$

-12 મેળવવા માટે -6 સાથે 2 નો ગુણાકાર કરો.

$$5x-12y=-120$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 5x+3y=105માંથી 5x-12y=-120 ને ઘટાડો.

$$5x-5x+3y+12y=105+120$$

-5x માં 5x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 5x અને -5x ને વિભાજિત કરો.

$$3y+12y=105+120$$

12y માં 3y ઍડ કરો.

$$15y=105+120$$

120 માં 105 ઍડ કરો.

$$15y=225$$

બન્ને બાજુનો 15 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=15$$

5x-12y=-120માં y માટે 15 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$5x-12\times 15=-120$$

15 ને -12 વાર ગુણાકાર કરો.

$$5x-180=-120$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 180 ઍડ કરો.

$$5x=60$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=12$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=12,y=15$$