{l}{x^2/a+y^2/b=1}{y=2x+6} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { a } + \frac { y ^ { 2 } } { b } = 1 } \\ { y = 2 x + 6 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+12a}{4a+b}\text{, }y=\frac{2\left(-\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+3b\right)}{4a+b}\text{; }x=\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-12a}{4a+b}\text{, }y=\frac{2\left(\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+3b\right)}{4a+b}\text{, }&\left(a\geq -\frac{b}{4}+9\text{ and }a>0\text{ and }b>0\right)\text{ or }\left(a=-\frac{b}{4}+9\text{ and }b\neq 0\text{ and }b<36\right)\text{ or }\left(a\neq -\frac{b}{4}\text{ and }a\leq -\frac{b}{4}+9\text{ and }b<0\text{ and }a>0\right)\text{ or }\left(a=-\frac{b}{4}+9\text{ and }b>0\text{ and }b\neq 36\right)\text{ or }\left(a\neq -\frac{b}{4}\text{ and }a\leq -\frac{b}{4}+9\text{ and }a<0\text{ and }b>0\right)\\x=\frac{b-36}{24}\text{, }y=\frac{b+36}{12}\text{, }&a=-\frac{b}{4}\text{ and }b\neq 0\end{matrix}\right.$$

પ્રતિસ્થાપન અને ચતુર્વર્ગીય સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પગલા

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો ab દ્વારા ગુણાકાર કરો, a,b ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$bx^{2}+ay^{2}=ab$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 2x ઘટાડો.

$$y-2x=6$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$y-2x=6,bx^{2}+ay^{2}=ab$$

બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ y આઇસોલેટ કરીને y માટે y-2x=6 ને ઉકેલો.

$$y-2x=6$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી -2x નો ઘટાડો કરો.

$$y=2x+6$$

અન્ય સમીકરણ, bx^{2}+ay^{2}=ab માં y માટે 2x+6 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$bx^{2}+a\left(2x+6\right)^{2}=ab$$

વર્ગ 2x+6.

$$bx^{2}+a\left(4x^{2}+24x+36\right)=ab$$

4x^{2}+24x+36 ને a વાર ગુણાકાર કરો.

$$bx^{2}+4ax^{2}+24ax+36a=ab$$

4ax^{2} માં bx^{2} ઍડ કરો.

$$\left(4a+b\right)x^{2}+24ax+36a=ab$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી ab નો ઘટાડો કરો.

$$\left(4a+b\right)x^{2}+24ax+36a-ab=0$$

આ સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે: ax^{2}+bx+c=0. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} માં, a માટે b+a\times 2^{2} ને, b માટે a\times 6\times 2\times 2 ને, અને c માટે a\left(36-b\right) ને બદલીને મૂકો.

$$x=\frac{-24a±\sqrt{\left(24a\right)^{2}-4\left(4a+b\right)a\left(36-b\right)}}{2\left(4a+b\right)}$$

વર્ગ a\times 6\times 2\times 2.

$$x=\frac{-24a±\sqrt{576a^{2}-4\left(4a+b\right)a\left(36-b\right)}}{2\left(4a+b\right)}$$

b+a\times 2^{2} ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-24a±\sqrt{576a^{2}+\left(-16a-4b\right)a\left(36-b\right)}}{2\left(4a+b\right)}$$

a\left(36-b\right) ને -4b-16a વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-24a±\sqrt{576a^{2}-4a\left(36-b\right)\left(4a+b\right)}}{2\left(4a+b\right)}$$

-4\left(b+4a\right)a\left(36-b\right) માં 576a^{2} ઍડ કરો.

$$x=\frac{-24a±\sqrt{4ab\left(4a+b-36\right)}}{2\left(4a+b\right)}$$

4ab\left(-36+4a+b\right) નો વર્ગ મૂળ લો.

$$x=\frac{-24a±2\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}}{2\left(4a+b\right)}$$

b+a\times 2^{2} ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-24a±2\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}}{8a+2b}$$

હવે x=\frac{-24a±2\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}}{8a+2b} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ધન હોય. 2\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)} માં -24a ઍડ કરો.

$$x=\frac{2\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-24a}{8a+2b}$$

-24a+2\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)} નો 2b+8a થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-12a}{4a+b}$$

હવે x=\frac{-24a±2\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}}{8a+2b} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ઋણ હોય. -24a માંથી 2\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)} ને ઘટાડો.

$$x=\frac{-2\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-24a}{8a+2b}$$

-24a-2\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)} નો 2b+8a થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+12a}{4a+b}$$

x માટે બે ઉકેલ છે: \frac{-12a+\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)}}{b+4a} અને -\frac{12a+\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)}}{b+4a}. y માટે સંબંધિત ઉકેલ શોધવા માટે સમીકરણ y=2x+6 માં x માટે \frac{-12a+\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)}}{b+4a} નું પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$y=2\times \frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-12a}{4a+b}+6$$

હવે સમીકરણ y=2x+6 માં -\frac{12a+\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)}}{b+4a} માટે x ને પ્રતિસ્થાપન કરો અને y માટે સંબંધિત ઉકેલ શોધવા માટે ઉકેલો જે બન્ને સમીકરણોને સંતુષ્ઠ કરે છે.

$$y=2\left(-\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+12a}{4a+b}\right)+6$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=2\times \frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-12a}{4a+b}+6,x=\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-12a}{4a+b}\text{ or }y=2\left(-\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+12a}{4a+b}\right)+6,x=-\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+12a}{4a+b}$$

x, y માટે ઉકેલો (જટિલ સમાધાન)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+12a}{4a+b}\text{, }y=\frac{2\left(-\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+3b\right)}{4a+b}\text{; }x=\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-12a}{4a+b}\text{, }y=\frac{2\left(\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+3b\right)}{4a+b}\text{, }&a\neq -\frac{b}{4}\text{ and }a\neq 0\text{ and }b\neq 0\\x=\frac{b-36}{24}\text{, }y=\frac{b+36}{12}\text{, }&a=-\frac{b}{4}\text{ and }b\neq 0\end{matrix}\right.$$