{l}{x^2/9+y^2/4=1}{3x+4y=1} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 9 } + \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1 } \\ { 3 x + 4 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=\frac{63}{29}\approx 2.172413793\text{, }y=-\frac{40}{29}\approx -1.379310345$$

$$x=-\frac{9}{5}=-1.8\text{, }y=\frac{8}{5}=1.6$$

પ્રતિસ્થાપન અને ચતુર્વર્ગીય સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પગલા

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 36 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 9,4 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$4x^{2}+9y^{2}=36$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3x+4y=1,9y^{2}+4x^{2}=36$$

બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ x આઇસોલેટ કરીને x માટે 3x+4y=1 ને ઉકેલો.

$$3x+4y=1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 4y નો ઘટાડો કરો.

$$3x=-4y+1$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, 9y^{2}+4x^{2}=36 માં x માટે -\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$9y^{2}+4\left(-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}\right)^{2}=36$$

વર્ગ -\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}.

$$9y^{2}+4\left(\frac{16}{9}y^{2}-\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}\right)=36$$

\frac{16}{9}y^{2}-\frac{8}{9}y+\frac{1}{9} ને 4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$9y^{2}+\frac{64}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y+\frac{4}{9}=36$$

\frac{64}{9}y^{2} માં 9y^{2} ઍડ કરો.

$$\frac{145}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y+\frac{4}{9}=36$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 36 નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{145}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y-\frac{320}{9}=0$$

આ સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે: ax^{2}+bx+c=0. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} માં, a માટે 9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2} ને, b માટે 4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2 ને, અને c માટે -\frac{320}{9} ને બદલીને મૂકો.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\left(-\frac{32}{9}\right)^{2}-4\times \frac{145}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

વર્ગ 4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024}{81}-4\times \frac{145}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2} ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024}{81}-\frac{580}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{580}{9} નો -\frac{320}{9} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024+185600}{81}}}{2\times \frac{145}{9}}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{185600}{81} માં \frac{1024}{81} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{2304}}{2\times \frac{145}{9}}$$

2304 નો વર્ગ મૂળ લો.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±48}{2\times \frac{145}{9}}$$

4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2 નો વિરોધી \frac{32}{9} છે.

$$y=\frac{\frac{32}{9}±48}{2\times \frac{145}{9}}$$

9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2} ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}}$$

હવે y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ધન હોય. 48 માં \frac{32}{9} ઍડ કરો.

$$y=\frac{\frac{464}{9}}{\frac{290}{9}}$$

\frac{464}{9} ને \frac{290}{9} ના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાથી \frac{464}{9} નો \frac{290}{9} થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{8}{5}$$

હવે y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ઋણ હોય. \frac{32}{9} માંથી 48 ને ઘટાડો.

$$y=-\frac{\frac{400}{9}}{\frac{290}{9}}$$

-\frac{400}{9} ને \frac{290}{9} ના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાથી -\frac{400}{9} નો \frac{290}{9} થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{40}{29}$$

y માટે બે ઉકેલ છે: \frac{8}{5} અને -\frac{40}{29}. x માટે સંબંધિત ઉકેલ શોધવા માટે સમીકરણ x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} માં y માટે \frac{8}{5} નું પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{8}{5}+\frac{1}{3}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{4}{3} નો \frac{8}{5} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{32}{15}+\frac{1}{3}$$

\frac{1}{3} માં -\frac{4}{3}\times \frac{8}{5} ઍડ કરો.

$$x=-\frac{9}{5}$$

હવે સમીકરણ x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} માં -\frac{40}{29} માટે y ને પ્રતિસ્થાપન કરો અને x માટે સંબંધિત ઉકેલ શોધવા માટે ઉકેલો જે બન્ને સમીકરણોને સંતુષ્ઠ કરે છે.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{40}{29}\right)+\frac{1}{3}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{4}{3} નો -\frac{40}{29} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{160}{87}+\frac{1}{3}$$

\frac{1}{3} માં -\frac{40}{29}\left(-\frac{4}{3}\right) ઍડ કરો.

$$x=\frac{63}{29}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{9}{5},y=\frac{8}{5}\text{ or }x=\frac{63}{29},y=-\frac{40}{29}$$